__________________________________________________
-1+ ن ه- 1+ ه- (ه+ ن ه 2- ه+ ه 2) ن ه- ن ه 2+ ه- ه 2/
1+ ن ه- 1+ ه- ه- ن ه 2+ ه- ه 2 ن ه- ن ه 2+ ه- ه 2/
ن ه- ن ه 2+ ه- ه 2 ن ه- ن ه 2+ ه- ه 2/ 1
هذا كلّه لو كان (و) مساوياً ل ن ه- (1- ه).
وأمّا لو كان أصغر من ذلك فسوف يصبح الواحد أصغر من 1+ ون- و* 1- هه
ولو كان أكبر من ذلك فسوف يكون الواحد أكبر من 1+ ون- و* 1- هه والسرّ في ذلك أنّ (و) في المقام موجب وفي البسط سالب فكلّما كبر أوجب تكبير المقام وتصغير البسط فتصغر النتيجة وكلّما صغر أوجب تصغير المقام وتكبير البسط فتكبر النتيجة.
ويمكن إثبات هذه المدّعيات كلّها عن طريق آخر بأن نقول:
متى كان 1+ ون- و* 1- هه مساوياً مع واحد كان (و) مساوياً مع عدد مجموع المرّات مضروباً في قيمة احتمال الحادثة ناقصاً قيمة احتمال عدمها.
والبرهان على ذلك أ نّه إذا كان 1+ ون- و* 1- هه مساوياً لواحد صدقت المعادلة التالية:
(ن- و) ه/ (1+ و)* (1- ه)/
ن ه- و ه/ (1+ و)* (1- ه)/
ن ه- و ه/ 1- ه+ و* (1- ه)/
ن ه- و ه/ 1- ه+ و- و ه
ولكي نعرف قيمة (و) ننقل سائر الرموز في الطرف الثاني من المعادلة ما عدا (و) إلى الطرف الأوّل مع تبديل علامة+ بعلامة- وبالعكس فتصبح المعادلة هكذا:-

و معنى أنّ الواحد أصغر من ذلك أنّ البسط أكبر من المقام أي أنّ (ن- و)* ه أكبر من (1+ و)* (1- ه) وهو عبارة اخرى عن أنّ د ر (و+ 1) أكبر من د ر (و)؛ لأنّ نسبة كلّ من هذين البسطين إلى مقامه واحدة.

وما دمنا نريد أن نحدّد قيم (و) التي يكون معها الواحد الصحيح أصغر من 1+ ون- و* 1- هه لكي تتحقّق العلاقة المطلوبة،[1] فسوف نجد أنّ قيم (و) التي تحقّق هذا الشرط هي دائماً أصغر من «ن* د ر- (1- د ر)»[2]، أي من عدد مجموع المرّات مضروباً في قيمة احتمال الحادثة ناقصاً قيمة احتمال عدمها[3]؛ لأنّ (و) لو ساواه لما كان الواحد أصغر من 1+ ون- و* 1- هه بل لساواه‏[4]، كما أنّ (و) لو كان-

[1] وهي أنّ د ر( و+ 1) أكبر من د ر( و) أي أنّ قيمة احتمال الحادثة في( و) من المرّات زائداً مرّة واحدة أكبر من قيمة احتمال تكرّرها في( و) من المرّات فقط.( المؤلّف قدس سره)

[2] وهذا ما سيطلق عليه اسم( الحدّ)( لجنة التحقيق).

[3] فإذا فرضنا أنّ مجموع المرّات 15 وقيمة احتمال الحادثة 2/ 1 فإنّ( و) سوف يكون أقلّ دائماً من 15* 2/ 1-( 2/ 1) أي أ نّه أقلّ دائماً من سبعة.( المؤلّف قدس سره)

[4] يمكن البرهنة رياضياً على ذلك بتبديل( و) في البسط والمقام بما يفرض مساواته معه وهو ن ه-( 1- ه) فيرى أنّ البسط والمقام يتساويان وبيانه وفق المعادلات كما يلي:

\Y …\E

1+( ن ه-( 1- ه)) ن-( ن ه-( 1- ه))* 1- هه الذي هو عبارة اخرى عن 1+ ون- و* 1- هه حسب الفرض يساوي:

1+( ن ه- 1+ ه) ن-( ن ه- 1+ ه)* 1- هه/ 1+ ن ه- 1+ هن- ن ه+ 1- ه* 1- هه/-

فكلّما كانت النسبة الاولى أكبر من واحد أو مساوية لواحد أو أصغر من واحد كان حاصل ضرب الكسرين الأخيرين كذلك أيضاً وفقاً للكسر الأوّل، فإذا أردنا أن نعرف أنّ النسبة في الكسر الأوّل أكبر من واحد أو تساويه أو أصغر يمكننا الوصول إلى ذلك عن طريق الجواب على السؤال التالي:
هل أنّ 1 أكبر أو يساوي أو أصغر من و+ 1 ن- و* 1- هه
[الخطوة الثانية:] وإذا ما أردنا مثلًا أن نحدّد قيمة (و) التي يتحقّق عندها العلاقة التالية:
«د ر (و+ 1) أكبر من د ر (و)» فلا بدّ أن نحدّد قيم (و) التي يكون معها الواحد الصحيح أصغر من 1+ ون- و* 1- هه (و+ 1)! (ن- و- 1)! ن! ن! و! (ن- و)!/

__________________________________________________
– (و+ 1)! (ن- و- 1)! و! (ن- و)!/
(و+ 1) و! (ن- و- 1)! و! (ن- و) (ن- و- 1)!/ و+ 1 ن- و وهذا نسمّيه بالناتج الأوّل.
وثانياً نختصر الكسر الثاني بعد معرفة أنّ د ر/ ه فنقول:
درو* (1- د ر) ن- ود رو+ 1* (1- د ر) ن- و- 1/ هو* (1- ه) ن- وهو+ 1* (1- ه) ن- و- 1/
هو* (1- ه)* (1- ه) ن- و- 1 ه* هو* (1- ه) ن- و- 1/ 1- هه وهذا نسمّيه بالناتج الثاني.
ثمّ نضرب الناتج الأوّل في الناتج الثاني فيصبح هكذا: و+ 1 ن- و* 1- هه (الحائري)

وبحلّ هذه المعادلة يتبيّن أنّ أ يّهما أكبر، البسط أو المقام في ذلك الكسر المشار إليه، أي د ر (و) د ر (و+ 1)، فإنّ النسبة التي تحدّد قيمة هذا الكسر قد تساوي واحداً صحيحاً أو تكون أكبر منه أو أصغر، ففي الحالة الاولى يكون البسط والمقام متساويين، وفي الحالة الثانية يكون البسط أكبر، وفي الحالة الثالثة يكون المقام أكبر.

والنسبة التي تحدّد قيمة ذلك الكسر تطابق حاصل ضرب كسرين كما يلي:

د ر (و) د ر (و+ 1)/ 1+ ون- و* 1- هه[1]

______________________________

– (و+ 1)! (ن- و- 1)! ن!* د رو+ 1* (1- د ر) ن- و- 1
–
و! (ن- و)! ن!* د رو* (1- د ر) ن- و
ثمّ نقلب ما في ذلك من الكسر المركّب إلى الكسر البسيط بقلب الكسر المقسوم عليه وضربه في المقسوم فيصبح هكذا:
(و+ 1)! (ن- و- 1)! ن!* د رو* (1- د ر) ن- ون! و! (ن- و)!* د رو+ 1* (1- د ر) ن- و- 1 (الحائري)

[1] هذا اختصار لما انتهينا إليه من( و+ 1)!( ن- و- 1)! ن!* د رو*( 1- د ر) ن- ون! و!( ن- و)!* د رو+ 1*( 1- د ر) ن- و- 1

ولأجل التسهيل نجزّئ ذلك إلى كسرين أحدهما مضروب في الآخر هكذا:

( و+ 1)!( ن- و- 1)! ن! ن! و!( ن- و)!* د رو*( 1- د ر) ن- ود رو+ 1*( 1- د ر) ن- و- 1

فأوّلًا نختصر الكسر الأوّل فنقول:-

د ر (و+ 1) ن! و! (ن- و)!* د ر و+ 1* (1- د ر) ن- و- 1

-/-[1]

د ر (و) (و+ 1)! (ن- و- 1)! ن! د ر و* (1- د ر) ن- و

–

[1] يتّضح ذلك بالبيان التالي:

إذا أردنا أن نطبّق على ذلك الرموز السابقة قلنا:

أوّلًا:( م) بالقياس إلى البسط/( و+ 1)

ثانياً:( 12)/( د ر)

ثالثاً:( 1- 12)/( 1- د ر)

إذن م!( ن- م)! ن!* 12 م*( 1- 12) ن- م وهو الحساب الذي انتهينا إليه في ما سبق/( و+ 1)!( ن-( و+ 1))! ن!* د رو+ 1*( 1- د ر) ن-( و+ 1)/

( و+ 1)!( ن- و- 1)! ن!* د رو+ 1*( 1- د ر) ن- و- 1 ونسمّي ذلك بالناتج الأوّل.

رابعاً:( م) بالقياس إلى المقام/( و)

إذن م!( ن- م)! ن!* 12 م*( 1- 12) ن- م/

و!( ن- و)! ن!* د رو*( 1- د ر) ن- و ونسمّي ذلك بالناتج الثاني

ثمّ نقسم الناتج الأوّل على الناتج الثاني فيصبح هكذا:-

عدد المرّات الأكبر احتمالًا لوقوع تلك الحادثة في (ن) من المرّات، أي أنّ أيّ عدد من (ر) تكون قيمة احتماله أكبر ما يمكن. ولنفرض في هذه الحالة أنّ قيمة احتمال وقوع الحادثة (ر) في مرّة معيّنة معلومة، ولنرمز إليها ب (ه)، كما أنّ عدد المرّات الكلّي الذي نرمز إليه ب (ن) معلوم أيضاً.
إنّ معادلات برنولي هي التي تتكفّل بإيجاد حلّ لهذه المسألة. ولنرمز إلى عدد معيّن من الأعداد التي تشتمل عليها نون ب (و) من قبيل 7 في 15 مثلًا: وإلى قيمة احتمال حادثة معيّنة ب (د ر).
[الخطوة الاولى:] وبصدد الحلّ تحسب أوّلًا قيمة الكسر الآتي:

د ر (و) د ر (و+ 1)
وفيما سبق قد عرفنا طريقة تحديد قيمة احتمال أن تتكرّر الحادثة (و) مرّة، أو (و+ 1) مرّة، فإذا طبّقنا ذلك استخلصنا ما يلي:
د ر (و+ 1)/
د ر (و)
عدد الصور الممكنة ل (و) في (ن)* قيمة احتمال صورة مشخّصة من تلك الصور
عدد الصور الممكنة ل (و+ 1) في (ن)* قيمة احتمال صورة مشخّصة من تلك الصور
وبلغة الرموز المتّفق عليها نستخلص ما يلي:

__________________________________________________
– فالعدد الذي يتمتّع بأكبر قيمةٍ احتماليّة إمّا هو عددان متساويان في القيمة الاحتماليّة، وهما ما يساوي (الحدّ) وما يزيد عليه بواحد، ويتمّ ذلك فيما إذا كان كلّ من (الحدّ) وما يزيد عليه بواحد عدداً صحيحاً، وإمّا هو عددٌ صحيح واقع بين (الحدّ) وما يزيد عليه بواحد، ويتمّ ذلك فيما إذا كان كلّ من (الحدّ) وما يزيد عليه بواحد عدداً كسريّاً (لجنة التحقيق)

[المرحلة الثانية[1]:]

والآن إذا رمزنا إلى حادثة ب (ر) وإلى نفيها ب (رَ) فقد نريد معرفة إيجاد

[1] الهدف من البحث في هذه المرحلة تعيين العدد الذي يتمتّع بأكبر قيمةٍ احتماليّة من أعداد تكرّر حادثةٍ معيّنة في( ن) من المرّات. وقد قسّمنا ما ورد في هذا البحث إلى ثلاث خطوات:

ففي الخطوة الاولى تتمّ المقايسة بين قيمة احتمال تكرّر تلك الحادثة بعددٍ معيّن يُرمز إليه ب( و) وقيمة احتمال تكرّرها بذلك العدد زائداً واحد، وذلك بوضع قيمة احتمال( و+ 1) بسطاً وقيمة احتمال( و) مقاماً وتحديد كلٍّ منهما بطريقة المحاسبات الرمزيّة التي انتهينا إليها في المرحلة السابقة من البحث بعد تبديل( م) السابقة ب( و+ 1) في البسط وتبديلها ب( و) في المقام، لمعرفة أنّ أيّ القيمتين أكبر، أو هما متساويان.

وفي الخطوة الثانية يتمّ التأكيد على أنّ كلّ عددٍ من تكرّر الحادثة مرموزٍ إليه ب( و) إن كانت قيمته الاحتماليّة أقلّ من قيمة احتمال ما زاد عليه بواحد- بحيث كان المقام في الكسر السابق أصغر من البسط- لزم أن يكون ذلك العدد أقلّ من« عدد مجموع المرّات مضروباً في قيمة احتمال الحادثة ناقصاً احتمال عدمها»- وهو ما يطلق عليه اسم( الحدّ)- أمّا إذا كان مساوياً لهذا( الحدّ) فستكون قيمته الاحتماليّة مساويةً لقيمة احتمال ما زاد عليه بواحد، فيتساوى البسط والمقام، كما أ نّه إذا كان أكبر من( الحدّ) فستكون قيمته الاحتماليّة أكبر من قيمة احتمال ما زاد عليه بواحد، فيصبح المقام أكبر من البسط، وهذه الدعاوى قد أثبتها سماحة السيّد الحائري( حفظه اللَّه) ببرهانٍ رياضي في الهوامش المدرجة في هذه الطبعة فلاحظ.

وفي الخطوة الثالثة يُستنتج أنّ كلّ عددٍ من أعداد تكرار الحادثة في( ن) من المرّات إذا كان أصغر من( الحدّ) فليس هو العدد الذي يتمتّع بأكبر قيمةٍ احتماليّة من أعداد تكرار الحادثة في( ن) من المرّات، وإذا كان أكبر من( الحدّ+ 1) فهو أيضاً كذلك.-

كما يلي:

م* (م- 1)* 000* 2* 1 ن* (ن- 1)* (ن- 2)* 000* «ن- (م- 1)»* (12) م* (1- 12) ن- م/ القيمة المطلوبة.

[الخطوة الرابعة:] ويمكن اختصار رموز عملية إخراج صور (م) الممكنة في (ن)، بأن نضع (!) لكي نرمز به إلى كون العدد الموضوع إلى جانبه- ولنفرضه (م) مثلًا- مضروباً في جميع الأعداد الصحيحة التي يشتمل عليها بما فيها (م) نفسه‏[1]، فنختصر على هذا الأساس العملية كما يلي:

م! (ن- م)! ن![2]

وعلى أساس هذا الاختصار يمكن أن نحدّد قيمة تكرار الحادثة (م) مرّة في (ن) كما يلي:

م! (ن- م)! ن!* (12) م* (1- 12) ن- م‏

[1] ليس المراد بقوله رحمه الله:« بما فيها( م) نفسه» أنّ العدد الموضوع إلى جانبه(!) يُضرب في نفسه بالإضافة إلى ضربه فيما دونه من الأعداد الصحيحة، بل المراد أنّ مجموع عوامل الضرب عبارة عن نفس ذلك العدد مع كلّ الأرقام الصحيحة الاخرى المشتمل عليها( لجنة التحقيق)

[2] حيث إنّ البسط يعبّر عن ضرب( ن) في جميع الأعداد الصحيحة التي يشتمل عليها بما فيها الأرقام التي فرضناها ثابتةً- وهي في مثالنا السابق: أربعة، وثلاثة، إلى واحد- خلافاً لما فرضناها سابقاً من ضرورة ضرب( ن) فيما عدا الأرقام الثابتة فحسب، ولهذا اضيف الضرب في الأرقام الثابتة على المقام أيضاً لتبقى النسبة محفوظة( الحائري)

م* (م- 1)* 000* 2* 1 ن* (ن- 1)* (ن- 2)* 000* «ن- (م- 1)»[1]

[الخطوة الثالثة:] وبعد أن نستخرج عدد صور (م) في (ن) وقيمة احتمال كلّ صورة، يمكننا أن نحدّد قيمة احتمال الفرضيّة المطروحة بضرب عدد الصور الممكنة ل (م) في (ن) في قيمة صورة مشخّصة بعينها[2]. ومعادلة ذلك‏

______________________________

– وهكذا، فنضرب خمسة في ستّة ونضرب النتيجة في سبعة وهكذا إلى عشرة.
3- إذا أردنا معرفة ترتيب باقي الأرقام- وهي الأرقام الداخلة في (م)- بالقياس إلى القسم المفروض الثبوت من دون نظر إلى ترتيب تلك الأرقام فيما بين أنفسها قسّمنا الناتج الذي انتهينا إليه في عبارتنا السابقة على حساب ترتيب تلك الأرقام فيما بين أنفسها، فإذا كانت تلك الأرقام ستّة قسّمنا ذلك الناتج على حاصل ضرب واحد في اثنين في ثلاثة إلى ستّة وهذا هو قاعدة التوافيق المذكورة في المتن. (الحائري)

[1] فإذا افترضنا أنّ( ن) عبارة عن عدد( 10) و( م) عبارة عن عدد( 6) كانت الصورة المعقولة ل( م) في( ن) حسب قاعدة التوافيق المذكورة عبارة عمّا يلي:

6* 5* 4* 3* 2* 101* 9* 8* 7* 6* 5/ 151200720/ 210

ولا يخفى أنّ( م- 1) الوارد في صيغة قاعدة التوافيق يساوي- حسب هذه الفرضيّة- عدد( 5) كما أنّ« ن-( م- 1)» يساوي أيضاً عدد( 5) في نفس هذه الفرضيّة، وقد يختلف الأمران في فرضيّات اخرى، كما إذا افترضنا( ن) عبارة عن عدد( 15) و( م) عبارة عن عدد( 7) فحينئذٍ سيكون( م- 1) مساوياً لعدد( 6) ولكنّ« ن-( م- 1)» يكون مساوياً لعدد( 9) كما يظهر بالتأمّل( لجنة التحقيق)

[2] عملًا ببديهيّة الانفصال القائلة في الاحتمالات المتضادّة بالجمع بين قيم تلك الاحتمالات فضرب عدد الصور الممكنة ل( م) في( ن) في قيمة صورة مشخّصة بعينها عبارة عن الجمع بين القيم حيث أنّ الضرب جمع متكرّر.( الحائري)