م* (م- 1)* 000* 2* 1 ن* (ن- 1)* (ن- 2)* 000* «ن- (م- 1)»[1]

[الخطوة الثالثة:] وبعد أن نستخرج عدد صور (م) في (ن) وقيمة احتمال كلّ صورة، يمكننا أن نحدّد قيمة احتمال الفرضيّة المطروحة بضرب عدد الصور الممكنة ل (م) في (ن) في قيمة صورة مشخّصة بعينها[2]. ومعادلة ذلك‏

______________________________

– وهكذا، فنضرب خمسة في ستّة ونضرب النتيجة في سبعة وهكذا إلى عشرة.
3- إذا أردنا معرفة ترتيب باقي الأرقام- وهي الأرقام الداخلة في (م)- بالقياس إلى القسم المفروض الثبوت من دون نظر إلى ترتيب تلك الأرقام فيما بين أنفسها قسّمنا الناتج الذي انتهينا إليه في عبارتنا السابقة على حساب ترتيب تلك الأرقام فيما بين أنفسها، فإذا كانت تلك الأرقام ستّة قسّمنا ذلك الناتج على حاصل ضرب واحد في اثنين في ثلاثة إلى ستّة وهذا هو قاعدة التوافيق المذكورة في المتن. (الحائري)

[1] فإذا افترضنا أنّ( ن) عبارة عن عدد( 10) و( م) عبارة عن عدد( 6) كانت الصورة المعقولة ل( م) في( ن) حسب قاعدة التوافيق المذكورة عبارة عمّا يلي:

6* 5* 4* 3* 2* 101* 9* 8* 7* 6* 5/ 151200720/ 210

ولا يخفى أنّ( م- 1) الوارد في صيغة قاعدة التوافيق يساوي- حسب هذه الفرضيّة- عدد( 5) كما أنّ« ن-( م- 1)» يساوي أيضاً عدد( 5) في نفس هذه الفرضيّة، وقد يختلف الأمران في فرضيّات اخرى، كما إذا افترضنا( ن) عبارة عن عدد( 15) و( م) عبارة عن عدد( 7) فحينئذٍ سيكون( م- 1) مساوياً لعدد( 6) ولكنّ« ن-( م- 1)» يكون مساوياً لعدد( 9) كما يظهر بالتأمّل( لجنة التحقيق)

[2] عملًا ببديهيّة الانفصال القائلة في الاحتمالات المتضادّة بالجمع بين قيم تلك الاحتمالات فضرب عدد الصور الممكنة ل( م) في( ن) في قيمة صورة مشخّصة بعينها عبارة عن الجمع بين القيم حيث أنّ الضرب جمع متكرّر.( الحائري)

وجه الصورة قد تكرّر (م) مرّة وأن يكون وجه الكتابة قد تكرّر (ن- م) مرّة؟

[الخطوة الاولى:] ولمّا كان لفرضيّة تكرّر الصورة (م) مرّة وتكرّر الكتابة (ن- م) مرّة صور عديدة، فبالإمكان أن نأخذ صورة محدّدة من تلك الصور بحيث نشخّص (م) في مرّات معيّنة ونشخّص (ن- م) في مرّات معيّنة أيضاً، ونحسب قيمة احتمال تلك الصورة:

إنّ قيمة احتمال تلك الصورة بالذات/ (12) م* (1- 12) ن- م‏[1]

[الخطوة الثانية:] وبعد هذا لا بدّ أن نتصوّر عدد الصور الممكنة للفرضيّة المطروحة، ونحصّل ذلك عن طريق تطبيق القاعدة المعروفة للتوافيق على (م) و (ن)[2] لنعرف كم صورة ل (م) في (ن) وذلك كما يلي:

[1] البرهان على ذلك هو بديهية الاتصال التي تتطلّب في الاحتمالات المطلقة ضرب بعضها في بعض.( الحائري)

[2] برهان هذه القاعدة يتّضح بهذا التسلسل:

1- إذا أردنا معرفة الصور المتصوّرة من ترتيب الأرقام من واحد إلى أيّ عدد شئنا- كعشرة مثلًا- أخذنا الواحد وضربناه في اثنين؛ لأنّ الرقم الثاني إمّا أن يقع قبل الأوّل أو بعده وضربنا الناتج في ثلاثة لأنّ الرقم الثالث إمّا أن يقع قبلهما أو بعدهما أو بالوسط وهكذا نضرب الناتج في أربعة ثمّ في خمسة إلى أن ننتهي إلى آخر رقم مقصود.

2- إذا أخذنا قسماً من هذه الأرقام أمراً ثابتاً وهو في المقام ما عدا( م) وأردنا معرفة ترتيب باقي الأرقام- وهي الأرقام الداخلة في( م)- بالقياس إلى هذا القسم مع ترتيبها أيضاً فيما بين أنفسها عملنا بنفس الحساب السابق شارعين من أوّل رقم من أرقام الباقي، فمثلًا حينما نأخذ أربعة أرقام أمراً ثابتاً ونريد معرفة صور خمسة وستّة إلى عشرة عند اجتماعها مع تلك الأربعة قلنا: الرقم الخامس له خمس صور والسادس له ستّ صور-

نظرية التوزيع ل (برنولي)[1]:

[المرحلة الاولى‏[2]:]

إذا فرضنا أنّ قطعة النقد قذفت (ن) مرّة، وأنّ احتمال وقوع النقد على وجه‏

الصورة في كلّ مرّة محدّدة بعينها 12، فما هو احتمال أن يكون وقوع النقد على‏

[1] جاء في ترجمته: جايمس برنولي:(James Bernouilli ):( 1654- 1705 م): عالم سويسري، من أعلام نظريّة الاحتمال، لقي شهرته من خلال كتابه« فنّ التخمين» الذي نشره ابن أخيه« نيكولا برنولي» سنة 1713 م والذي يضمّ الجزء الرابع منه اكتشاف برنولي لقانون( التوزيع في الأعداد الكبيرة). وقد حلّلنا ما ورد هنا من بحثه في إثبات هذا القانون إلى ثلاث مراحل، وقسّمنا كلّ مرحلةٍ إلى عدّة خطوات، لتسهيل الأمر على الباحثين.( لجنة التحقيق)

[2] الهدف من البحث في هذه المرحلة التوصّل إلى قيمة احتمال تكرّر وقوع حادثة معيّنة( م) مرّة ضمن إجراء عمليّة الاختبار( ن) مرّة، وعدم تكرّر وقوعها في( ن- م) مرّة ضمن مجموع تلك الاختبارات. مثاله: تكرّر حادثة خروج الصورة( م) مرّة ضمن إجراء عمليّة إلقاء النقد( ن) مرّة، وخروج الكتابة( ن- م) مرّة من مجموع تلك الإلقاءات. وقد قسّمنا البحث الوارد في ذلك إلى أربع خطوات:

ففي الخطوة الاولى يتمّ تعيين قيمة احتمال صورة معيّنة من الصور الممكنة لخروج الصورة( م) مرّة والكتابة( ن- م) مرّة، وذلك بتطبيق بديهيّة الاتّصال.

وفي الخطوة الثانية يتمّ تعيين عدد الصور الممكنة لتكرّر خروج الصورة( م) مرّة والكتابة( ن- م) مرّة، وذلك بتطبيق قاعدة التوافيق.

وفي الخطوة الثالثة يتمّ التوصّل إلى قيمة احتمال وقوع إحدى الصور الممكنة لخروج الصورة( م) مرّة والكتابة( ن- م) مرّة، وذلك بتطبيق بديهيّة الانفصال.

وفي الخطوة الرابعة يتمّ اختصار الرموز التي ننتهي إليها( لجنة التحقيق)

إنّنا إذا رمزنا ب (د) إلى قيمة الاحتمال، وب (ح) إلى أن تكون الحقيبة ذات كرات بيضاء فقط، و ب (ط) إلى سحب ثلاث كرات بيضاء على تقدير (ح)، و ب (س) إلى أن تكون الحقيبة هي الاولى التي لا تشتمل إلّاعلى ثلاث كرات بيضاء، و ب (و) إلى سحب ثلاث كرات بيضاء على تقدير (س)، و ب (ك) إلى أن تكون الحقيبة هي الثانية التي تشتمل على أربع كرات بيضاء، و ب (ه) إلى سحب ثلاث كرات بيضاء على تقدير (ك) … إذا اصطنعنا هذه الرموز فسوف نحصل على المعادلة التالية:

ما تحتوي عليه من الكرات البيض، فواحدة منها تحتوي على ثلاث كرات بيضاء فقط، والاخرى على أربع كرات بيضاء فقط، والثالثة لا تشتمل إلّاعلى الكرات البيضاء. ولنفرض أ نّا اخترنا حقيبة من تلك الحقائب عشوائيّاً واستخرجنا منها ثلاث كرات، فاتّفق أ نّها بيضاء، فما هي درجة احتمال أن تكون هذه الحقيبة التي اخترناها عشوائياً هي الحقيبة الثالثة التي لا تشتمل إلّاعلى كرات بيضاء؟[1].

[1] احتمال كون الحقيبة ذات كرات كلّها بيضاء على تقدير سحب ثلاث كرات يساوي احتمال العكس مضروباً في الأوّل مقسوماً على الثاني حسب ما يقتضيه مبدأ الاحتمال العكسي.

احتمال كون الحقيبة ذات كرات كلّها بيضاء/ 3/ 1 ونرمز إليه ب ح

واحتمال كونها ذات أربع كرات بيضاء/ 3/ 1 ونرمز إليه ب ك

واحتمال كونها ذات ثلاث كرات بيضاء/ 3/ 1 ونرمز إليه ب س

واحتمال سحب ثلاث كرات بيضاء على التقدير الأوّل( وهذا ما نرمز إليه ب ط)/ 1

واحتماله على التقدير الثاني( وهذا ما نرمز إليه ب ه)/ 10/ 4 لأنّ توافيق ثلاثة في خمسة/ 10 فالمقام هو عشرة وتوافيق ثلاثة في أربعة/ 4 فالبسط هو أربعة.

واحتماله على التقدير الثالث( وهذا ما نرمز إليه ب و)/ 10/ 1 لأنّ توافيق ثلاثة في خمسة/ 10 وتوافيق ثلاثة في ثلاثة/ 1.

واحتمال سحب ثلاث كرات بيضاء/ احتماله على التقدير الأوّل* التقدير الأوّل+ احتماله على التقدير الثاني* التقدير الثاني+ احتماله على التقدير الثالث* التقدير الثالث

إذن فاحتمال كون الحقيبة ذات كرات كلّها بيضاء بعد السحب

أي أنّ احتمال كون الهدف موضوعاً على (أ) هو قبل الإصابة 4/ 3 وبعد إصابة الهدف يصير 10/ 9.

وعن طريق مبدأ الاحتمال العكسي حدّدت قيمة احتمال نظرية الجاذبية بعد اكتشاف نبتون؛ لأنّ نظرية الجاذبية بمثابة كون الهدف موضوعاً على (أ) في المثال السابق، واكتشاف نبتون بمثابة العلم بأنّ الهدف قد اصيب عند توجيه الطلقة، فكما كبر احتمال كون الهدف موضوعاً على (أ) بعد اكتشاف أنّ الهدف قد اصيب مع محاولة الرامي لتوجيه الطلقة إلى (أ) كذلك كبر احتمال الجاذبية بعد اكتشاف نبتون‏[1].

وبكلمة موجزة: إنّ قيمة احتمال حادثة على أساس تكشّف حقيقة ذات صلة بتلك الحادثة هي قيمة احتمال تلك الحادثة المسبق مضروباً في قيمة احتمال تلك الحقيقة على تقدير وجود تلك الحادثة مقسوماً على الاحتمال المسبق لتلك الحقيقة قبل اكتشافها.

حساب الاحتمال في مثال الحقائب:

هناك مثال مشهور في حساب الاحتمالات يتلخّص فيما يلي: إذا افترضنا ثلاث حقائب تحتوي كلّ منها على خمس كرات، غير أ نّها تختلف في عدد

[1] الجاذبية على تقدير نبتون/ نبتون( نبتون على تقدير الجاذبيّة/ 1)* الجاذبية/ نبتون‏الجاذبية

ومن الواضح أنّ قيمة الجاذبية حينما تقسّم على قيمة نبتون تكبر؛ لأنّ قيمة نبتون أقلّ من واحد.( الحائري)

إنّ قيمة هذا الاحتمال كانت قبل توجيه الطلقة حسب ما افترضناه 4/ 3، ولكنّها سوف تزداد الآن. ومبدأ الاحتمال العكسي هو الذي يحدّد لنا قيمة ذلك الاحتمال بعد افتراض إصابة الهدف، فإذا كنّا نرمز إلى قيمة الاحتمال ب (د)، وإلى كون الهدف في (أ) ب (ج)، وإلى كون الهدف في (ب) ب (س) وإلى إصابة الهدف على تقدير كون الهدف في (أ) ب (ط)، وإلى إصابة الهدف على تقدير كون الهدف في (ب) ب (و) فسوف تحصل لدينا المعادلة التالية:
د (ج)* د (ط)+ د (س)* د (و) د (ج)* د (ط)/ د (ج) بعد إصابة الهدف.
وإذا بدّلنا الرموز بالأرقام وافترضنا قيم الاحتمال كما تقدّم في المثال، كانت المعادلة كما يلي:

أي أنّ احتمال تفوّق طالب في الرياضيات على أساس الظروف العامة وافتراض تفوّقه في المنطق يساوي احتمال تفوّقه في الرياضيات على أساس الظروف العامّة مضروباً في احتمال تفوّقه في المنطق على أساس الظروف العامّة وافتراض تفوّقه في الرياضيات، مقسوماً على احتمال تفوّقه في المنطق على أساس الظروف العامّة. وهذه المعادلة اللازمة عن بديهية الاتصال تسمّى ب «مبدأ الاحتمال العكسي».

ولنوضّح فائدة هذا المبدأ في حساب الاحتمالات في المثال التالي:

إذا فرضنا خطاً مستقيماً مقسّماً إلى قسمين: (أ) و (ب) والمطلوب إطلاق النار على هدف موضوع على هذا الخطّ ونحن لا نعلم أنّ الهدف هل وضع على (أ) أو على (ب)، ولنفرض أنّ احتمال كونه موضوعاً على (أ) 4/ 3، واحتمال كونه موضوعاً على (ب) 4/ 1، وعلى هذا الأساس وجّهنا الطلقة إلى (أ)، وكان احتمال أن نصيب (أ) وفقاً لما حاولناه 4/ 3، واحتمال أن نخطئ في المحاولة وتصيب الطلقة (ب) 4/ 1، ولنفرض أ نّه قيل لنا بشكل مؤكّد أ نّا أصبنا الهدف، فما هي قيمة احتمال أن يكون الهدف موضوعاً على (أ) بعد افتراض أ نّا أصبنا الهدف؟[1]

[1] كون الهدف في( أ) على تقدير إصابة الهدف يساوي العكس مضروباً في الأوّل مقسوماً على الثاني.

وذلك على أساس ما مضى من مبدأ الاحتمال العكسي.

وحينئذٍ نقول في مفروض المثال الموجود في الكتاب:

كون الهدف في( أ) نرمز إليه ب( ج) وقيمته الاحتماليّة 4/ 3

إصابة الهدف على تقدير كونه في( أ) نرمز إليه ب( ط) وقيمته الاحتماليّة 4/ 3

كون الهدف في( ب) نرمز إليه ب( س) وقيمته الاحتماليّة 4/ 1-

تحدّد احتمالنا لكلّ من الحادثتين بالنسبة إليها ب (ح)، فإنّ بديهية الاتصال المتقدّمة تقول:

______________________________

— التقسيم إلى الضرب، وإذا حذفنا العوامل المشتركة بين البسط والمقام حصلنا على هذا الكسر: ح+ ل‏ل ومن المعلوم أنّ ل على تقدير ح و ل مقطوع الثبوت، فلزم أن يكون احتمال حادثة على تقدير حادثة اخرى دائماً/ 100100 وليس كذلك.

والجواب: أ نّنا لو اقتصرنا في تفسير ح‏ك أو ح‏ل أو ح+ ل‏ك أو نحو ذلك بأن قلنا إنّ هذا معناه كذا على تقدير كذا، فهذا ليس كسراً حتّى يجري عليه قانون قلب الكسر في التقسيم وحذف العوامل المشتركة. وإن فسّرناه بأنّ المقام عبارة عن مجموع الاحتمالات المتصوّرة، والبسط عبارة عن عدد الاحتمالات التي تكون في صالح المقصود، فالنتيجة التي ننتهي إليها في هذه المعادلة وإن كانت هي: ح+ ك‏ل/ ح+ ل‏ل إلّاأنّ معنى ح+ ل‏ل حينئذٍ ليس هو ل على تقدير ح و ل حتّى يقال: إنّ ل على تقدير ح و ل مقطوع به بل يكون ح+ ل رقماً و ل رقماً آخر وليس ناتج الرقمين دائماً هو اليقين.( الحائري)