محتملة أيضاً، غير أ نّا إذا افترضنا أنّ الطالب قد نجح في المنطق فسوف يكبر احتمال أن ينجح في الرياضيات على أساس ما يكشف عنه النجاح في المنطق من كفاءة عقليّة. والعكس صحيح أيضاً، بمعنى أ نّا إذا افترضنا أنّ الطالب قد نجح في الرياضيات فعلًا فسوف يكبر احتمال أن ينجح في المنطق.
وكلّ احتمال يتأثّر بافتراض صدق احتمال آخر يسمّى: «احتمالًا مشروطاً». فإذا أردنا أن نعرف قيمة احتمال أن ينجح الطالب في المنطق والرياضيات معاً فلا بدّ أن نضرب قيمة احتمال نجاحه في المنطق بقيمة احتمال نجاحه في الرياضيات على افتراض نجاحه في المنطق وفقاً لبديهية الاتصال، فإذا رمزنا إلى النجاح في المنطق ب (أ) وإلى النجاح في الرياضيات ب (ب) وإلى الانتماء إلى المدرسة ب (ح) حصلنا على المعادلة التالية:
قيمة احتمال (أ) و (ب) معاً/ قيمة احتمال حأ* ح+ أب
وهناك احتمالات غير مشروطة لا يتأثّر بعضها بافتراض صدق الآخر، من قبيل احتمال أن ينجح خالد في المنطق واحتمال أن ينجح زيد في الرياضيات.
فإنّ قيمة احتمال نجاح زيد في الرياضيات تساوي قيمة احتمال نجاحه على افتراض نجاح خالد، ويسمّى هذا النوع من الاحتمالات ب «الاحتمالات المستقلّة».
فإذا رمزنا إلى نجاح خالد ب (أ) وإلى نجاح زيد ب (ب) وإلى الانتماء إلى المدرسة ب (ح) كان حأ/ ح+ بأ، وهذا معنى أنّ الاحتمال غير مشروط. وفي هذه الحالة تكون قيمة احتمال (أ) و (ب) معاً/ قيمة احتمال حأ* قيمة احتمال
إذا كانت هناك حالتان (أ) و (ب) محتملتان، وكان من المحتمل اجتماع الحالتين معاً وأردنا أن نعرف قيمة احتمال (أ) أو (ب) فليس بالإمكان أن نحدّد قيمة هذا الاحتمال عن طريق جمع قيمة احتمال (أ) مع قيمة احتمال (ب) كما كنّا نصنع في الاحتمالات المتنافية؛ لأنّ احتمال المجموع موجود هنا، وهو يدخل في كلّ من احتمال (أ) واحتمال (ب)، فلا بدّ أن نطرح قيمة احتمال المجموع من مجموع قيمتي الاحتمالين لكي نصل إلى قيمة احتمال (أ) أو (ب).
وكما يمكن أن نصل إلى معرفة قيمة احتمال (أ) أو (ب) عن هذا الطريق كذلك يمكن أن نصل إلى ذلك عن طريق آخر، وهو أن نركّب مجموعة متكاملة تتأ لّف من حالتين متناقضتين، وهما حالة وجود (أ) أو (ب) وحالة عدم وجود شيء منهما. وقيمة الاحتمالين لهاتين الحالتين تساوي واحداً صحيحاً وفقاً لما تقدّم في الفقرة السابقة بالنسبة إلى كلّ مجموعة متكاملة، فإذا استطعنا أن نحدّد قيمة احتمال عدم وجود شيء منهما ونطرح هذه القيمة من الواحد الصحيح فسوف يبقى لنا الكسر الذي يمثّل قيمة احتمال وجود (أ) أو (ب). وأمّا كيف نحدّد قيمة احتمال عدم وجود شيء منهما، فذلك بضرب احتمال عدم (أ) في احتمال عدم (ب) على تقدير افتراض عدم (أ) وفقاً لبديهيّة الاتصال.
إذا كان (أ) و (ب) حالتين محتملتين، فقد تكون قيمة احتمال (ب) إذا افترضنا وجود (أ) أكبر من قيمة احتمال (ب) إذا لم نفترض وجود (أ). ومثال ذلك: أنّ نجاح الطالب في المنطق حالة محتملة ونجاحه في الرياضيات حالة
(ب)- قيمة احتمال المجموع. ونظراً إلى أنّ اجتماع الحادثتين غير محتمل في النتائج المتنافية، فيصدق أنّ احتمال إحدى الحادثتين يساوي مجموع الاحتمالين.
كلّما كانت لدينا حالتان أو عدّة حالات وكان لا بدّ أن تقع إحدى تلك الحالات، ولا يمكن في نفس الوقت أن تقع أكثر من حالة واحدة، اعتبرنا تلك الحالات متنافية، ونطلق على مجموعة من الحالات من هذا القبيل اسم «مجموعة الحالات المتكاملة». فحينما نقذف قطعة النقد تعتبر حالة ظهور الصورة وحالة ظهور الكتابة مجموعة متكاملة؛ لأنّ إحدى الحالتين لا بدّ أن تظهر، ولا يمكن أن تظهر أكثر من حالة واحدة. وحينما يفتح كتاب مكوّن من عشر أوراق، فإنّ حالة ظهور الورقة الاولى وحالة ظهور الورقة الثانية … وحالة ظهور الورقة العاشرة تعتبر مجموعة من الحالات المتكاملة؛ لأنّ من الضروري أن تقع واحدة منها، ولا يمكن أن تقع أكثر من واحدة.
وعلى هذا الأساس يمكن أن نقرّر: أنّ مجموع احتمالات الحالات المتكاملة يساوي دائماً واحداً صحيحاً؛ لأنّ وقوع إحدى الحالات ضروري بحكم تعريفنا للمجموعة المتكاملة، وهذا يعني أنّ قيمته واحد. وقد عرفنا في قاعدة الجمع السابقة أنّ احتمال إحدى حالتين أو حالات يساوي مجموع تلك الاحتمالات إذا كانت الحالات متنافية، وينتج ذلك المعادلة التالية: قيمة مجموع احتمالات الحالات المتكاملة/ قيمة احتمال وقوع إحدى تلك الحالات.
ولمّا كان الجانب الأيسر من المعادلة يعبّر عن رقم واحد، فلا بدّ أن تكون قيمة مجموع احتمالات الحالات المتكاملة واحداً صحيحاً.
على ضوء البديهيات السابقة نستعرض فيما يلي قواعد حساب الاحتمالات:
إذا كانت (ح) عملية من العمليات وكان من الضروري أن تؤدّي إلى واحدة فقط من النتائج التالية: أ، ب، ج، د، فهناك أربعة احتمالات هي: حأ، حب، حج، حد: فإذا أردنا أن نعرف قيمة احتمال أن توجد حأ أو حب، أمكن الحصول على ذلك عن طريق جمع قيمة احتمال حأ مع قيمة احتمال حب، وهذا يعني أنّ احتمال الحصول على إحدى نتيجتين أو إحدى نتائج معيّنة يساوي مجموع احتمالات الحصول على كلّ نتيجة من تلك النتائج على حدة.
أي أنّ احتمال حأ أو حب/ قيمة احتمال حأ+ قيمة احتمال حب، وهذا تطبيق للبديهية السادسة (بديهية الانفصال)؛ لأنّها كانت تنصّ على أنّ قيمة احتمال إحدى الحادثتين: (أ) أو (ب) تساوي قيمة احتمال (أ)+ قيمة احتمال
قيمة في حالتي الضرب والجمع.
وهذا ما سوف نعرفه في النقطة الثالثة إن شاء اللَّه تعالى، كما أ نّا سوف ندرس هناك ما إذا كنّا بحاجة إلى بديهية اخرى أم لا.
المنطق والرياضيات معاً، فالحاء هنا تعني عدد الطلاب، واللام تعني التفوّق في المنطق، والكاف تعني التفوّق في الرياضيات. وعليه نقول: إنّ درجة احتمال تفوّقه في كليهما في وقت واحد يساوي درجة احتمال تفوّقه في المنطق مضروبة في احتمال أن يكون الطالب المتفوّق في المنطق متفوّقاً في الرياضيات.
6- إنّ احتمال (ل) أو (ك) بالنسبة إلى (ح) هو احتمال (ل) بالنسبة إلى (ح) مضافاً إليه احتمال (ك) بالنسبة إلى (ح) مطروحاً منه احتمال (ل) و (ك) معاً.
ففي المثال السابق إذا أردنا أن نعرف درجة احتمال أن يكون الطالب متفوّقاً في المنطق أو الرياضيات جمعنا درجة احتمال تفوّقه في الرياضيات مع درجة احتمال تفوّقه في المنطق، وطرحنا من ذلك درجة احتمال تفوّقه فيهما معاً التي تحدّدها بديهيّة الاتصال، فيكون الناتج هو درجة احتمال أحد الأمرين، وتعرف هذه ب (بديهية الانفصال)[1].
هذه هي البديهيات الستّ التي تفترضها نظرية الاحتمال، وعلى هذا الأساس يجب أن يلاحظ عند تفسير الاحتمال أن يعطى مفهوماً تصدق عليه تلك البديهيات، أي يجب أن يكون لاحتمال (ل) على افتراض (ح) معنى يفرض أن يكون لهذا الاحتمال قيمة واحدة لا أكثر، تحقيقاً للبديهية الاولى، ويسمح بأن يحصل هذا الاحتمال على أيّ قيمة ابتداءً من الصفر وانتهاءً بالواحد، تحقيقاً للبديهية الثانية، ويتطلّب أن تكون قيمة الاحتمال (1) في حالة استلزام (ح) ل (ل)، و (0) في حالة استلزام (ح) لنفي (ل) تحقيقاً للبديهية الثالثة والرابعة، ويتّفق في ناتج ضربه وجمعه مع ما تحدّده بديهية الاتصال وبديهية الانفصال من
[1] (Disjunctive Axiom )
1- إذا افترضنا (ل) و (ح) فهناك قيمة واحدة فقط ل حل، وعليه نستطيع أن نتحدّث عن احتمال (ل) على أساس (ح).
2- إنّ القيم الممكنة ل حل هي الأعداد الحقيقية من صفر إلى واحد وبضمنها العدد واحد والعدد صفر نفسهما[1].
3- إذا كانت (ح) تستلزم (ل) كانت حل/ 1، ويستخدم (1) للدلالة على اليقين.
4- إذا كانت (ح) تستلزم لا (ل) كانت حل/ صفر. ويستخدم (0) للدلالة على الاستحالة أي اليقين بالنفي.
5- إنّ احتمال كلّ من (ل) و (ك) في وقت واحد بالنسبة إلى (ح) هو احتمال (ل) بالنسبة إلى (ح) مضروباً باحتمال (ك) بالنسبة إلى (ل) و (ح)، وهو أيضاً احتمال (ك) بالنسبة إلى (ح) مضروباً باحتمال (ل) بالنسبة إلى (ك) و (ح)، وهذه تعرف ب (بديهية الاتصال)[2].
ومثال ذلك: إذا أردنا معرفة درجة احتمال أن يكون الطالب متفوّقاً في
__________________________________________________
– فيلسوف إنجليزي تولّى تدريس فلسفة الأخلاق في جامعة (كيمبريدج) من 1933 إلى 1953. تدور معظم كتاباته حول نظريّة المعرفة وفلسفة العلم، يرجع إليه الفضل في صياغة بديهيّتي «الاتّصال» و «الانفصال» (لجنة التحقيق)
[1] يراد بالأعداد الحقيقية هنا: الأعداد الكسرية فقط بما فيها الأعداد الصحيحة التي تعتبر أعداداً كسريّة، لإمكان تحويلها إلى كسور، دون الأعداد الحقيقيّة غير الكسريّة كالجذر التربيعي لاثنين أو لثلاثة أو لخمسة، أو النسبة الثابتة في حساب مساحة الدائرة.( المؤلّف قدس سره)
[2] (Conjunctive Axiom )
سوف نستخدم الرمز: حل للدلالة على احتمال حادثة على افتراض حادثة اخرى، أي أ نّا نرمز باللام إلى حادثة وبالحاء إلى حادثة اخرى وب حل إلى احتمال الحادثة الاولى على افتراض الحادثة الثانية. وسوف نفترض أنّ هذا الاحتمال مفهوم بدون حاجة للتعريف، إلى أن نحاول تعريفه في النقطة الثالثة.
ولقد لخّص (برتراند رسل)[1] بديهيات نظرية الاحتمال نقلًا عن الاستاذ (سي. دي. برود)[2] كما يلي:
[1] في كتابه المعرفة الإنسانية، القسم الخامس، الفصل الثاني: 363( باللغة الإنجليزيّة). وقد جاء في ترجمته: برتراند رسل(Bertrand Russell ):( 1872- 1970 م): فيلسوف إنجليزي، أولى أهميّةً بالغة للرياضيّات، اشترك مع مواطنه« وايتهيد» في وضع اسس المنطق الرياضي في« مبادئ الرياضيّات»، عارض بشدّة الحرب العالميّة الاولى والهجومَ الأمريكي على« ويتنام»، نال جائزة نوبل في الآداب عام( 1950 م). من مؤلّفاته:« حكمة الغرب» و« المعرفة الإنسانيّة .. مداها وحدودها»( لجنة التحقيق)
[2] جاء في ترجمته: تشارلي دنبر برود(Charlie Dunbar Broad ):( 1887- 1971 م):-
