کتابخانه
324

موجود في كلتا التجربتين، وهذه القيمة النافية لتكرّر (ت) في كلتا المرّتين، والمستمدّة من العلم البعدي، تنفي مصداقية (ت) للكلّي المقيّد المعلوم كونه سبباً في العلم الإجمالي القبلي، وبالتالي طرفيّته لذلك العلم؛ لأنّ ما يعلم أ نّه سبب في العلم القبلي شي‏ء موجود في كلتا التجربتين، فأيّ قيمة احتمالية تنفي وجود (ت) في كلتا التجربتين، تنفي بنفس الدرجة مصداقيّته للمعلوم بالعلم القبلي، وبذلك تكون حاكمة على القيمة الاحتماليّة لسببيّة (ت) المستمدّة من العلم القبلي، تطبيقاً للبديهية الإضافية الثالثة التي تقدّم توضيحها وإثباتها في نظرية الاحتمال؛ لأ نّنا نواجه في موقفنا هذا حالة من حالات الفرضية الاولى من الفرضيتين اللتين تفيان بالحكومة، وهي: أن يكون المعلوم في العلم الإجمالي مقيّداً بصفة هي لازم أعمّ لأحد طرفيه، وليست كذلك للطرف الآخر، والصفة هنا هي: وجود الشي‏ء في التجارب الناجحة، فإنّ هذه الصفة قيد في سبب (ب)، وهي لازم أعمّ ل (أ)، وليست كذلك بالنسبة إلى (ت).
وما ذكرناه يبرهن على أنّ قيمة احتمال سببيّة (أ) ل (ب) بعد أيّ عدد من التجارب الناجحة تحدّد على أساس العلم الإجمالي البعدي فقط، لا على أساس العلم الإجمالي الثالث الحاصل بالضرب، وسوف تكون قيمة احتمال سببيّة (أ) ل (ب) على أساس الحكومة أكبر من قيمته على أساس الضرب الذي يفترضه مبدأ الاحتمال العكسي.
وللمقارنة بين القيمتين نفترض: أنّ (ع 1 ن) (أعضاء العلم الإجمالي القبلي) ثلاثة، وهي: (أ) و (ت) و (ج)، ومعناه أنّ الاحتمال القبلي لسببيّة (أ) ل (ب) هو: 3/ 1. فإذا طبّقنا معادلة مبدأ الاحتمال العكسي بعد تجربتين ناجحتين، حصلنا على ما يلي:

323

افتراض سببيّة (أ) ل (ب)، هي واحد صحيح. وقيمة الاحتمال المسبق لتكرّر (ب) في كلتا التجربتين هو: ناتج الجمع بين احتمال سببيّة (أ) ل (ب)، واحتمال التكرّر على افتراض سببيّة (ت) ل (ب).
وهكذا نعرف: أنّ مبدأ الاحتمال العكسي يقوم على أساس الضرب، وتحديد قيمة احتمال سببيّة (أ) ل (ب)، وفقاً للعلم الإجمالي الثالث.

تطبيق البديهية الإضافية الثالثة (الحكومة):

ولكنّ مبدأ الاحتمال العكسي على خطأ في ذلك؛ لأنّ قاعدة الضرب إنّما تنطبق في حالة التنافي بين تقييمين لعلمين إجماليين إذا كانا متكافئين، ولا تنطبق إذا كانت القيمة التي يحدّدها أحد العلمين حاكمة على القيمة التي يحدّدها العلم الآخر، وفقاً للبديهية الإضافية الثالثة في نظرية الاحتمال.
وهذا ما نلاحظه فعلًا في العلم الإجمالي القبلي والعلم الإجمالي البعدي، فإنّ القيمة الاحتمالية التي يحدّدها العلم الإجمالي البعدي لسببيّة (أ) ل (ب)، حاكمة على القيمة الاحتمالية التي يحدّدها العلم الإجمالي القبلي لنفي سببيّة (أ) ل (ب)، فلا موضع للضرب.
ويتّضح تطبيق البديهية الإضافية الثالثة من البيان التالي:
إنّ المعلوم بالعلم الإجمالي القبلي كلّي، وهو سببية شي‏ء غير محدّد يحتمل أن يكون (أ)، ويحتمل أن يكون (ت). ولكن هذا الشي‏ء الكلّي يصبح- بعد القيام بتجربتين ناجحتين- مقيّداً بقيد، وهو كونه موجوداً في كلتا التجربتين. فسبب (ب)، رغم أ نّه غير محدّد شخصياً، ولكنّه محدّد وصفيّاً بأ نّه موجود في كلتا التجربتين. فالعلم الإجمالي الأوّل- إذن- هو: علم بأنّ سبب (ب) شي‏ء موجود في كلتا التجربتين. والعلم الإجمالي الثاني ينفي- بقيمة احتمالية كبيرة- أنّ (ت)

322

مضاعفة البسط، بينما لا تؤدّي إضافة تجربة واحدة و (ع 1) واحد إلى مضاعفة المقام. وكلّما ضوعف البسط ولم يضاعف المقام تزداد قيمة الكسر، ويستثنى من ذلك صورة ما إذا أضفنا إلى تجربة واحدة تجربة واحدة اخرى فقط، وإلى (ع 1) واحد (ع 1) آخر، فإنّنا في هذه الصورة نكون قد ضاعفنا البسط والمقام معاً، وبهذا يظلّ احتمال سببيّة (أ) ل (ب) كما هو. ومن أجل هذا كان احتمال سببيّة (أ) ل (ب) بعد تجربة واحدة، ومع معاصر واحد ل (أ) في العلم القبلي، يساوي 3/ 2، واحتمال سببيّته بعد تجربتين، ومع افتراض معاصرين ل (أ) في العلم القبلي، يساوي 3/ 2 أيضاً؛ لأنّ 12+ 121/ 22+ 222/ 46/ 23.

وإذا قارنّا النتائج التي انتهينا إليها في تحديد قيمة احتمال سببيّة (أ) ل (ب)، على أساس ضرب أحد العلمين بالآخر، بمبدأ الاحتمال العكسي، نجد أ نّها متّفقة تماماً مع المعادلة التي يمكن أن نحدّد بموجبها قيمة احتمال السببيّة، على أساس مبدأ الاحتمال العكسي؛ لأنّ مبدأ الاحتمال العكسي يقرّر: إنّ قيمة احتمال حادثة على أساس تكشف حقيقة ذات صلة بها هي: قيمة الاحتمال القبلي للحادثة، مضروبة في قيمة احتمال تلك الحقيقة، على افتراض وقوع الحادثة، مقسوماً على قيمة الاحتمال القبلي للحقيقة التي تكشّفت.
والحادثة هنا هي: سببيّة (أ) ل (ب)، والحقيقة التي تكشّفت هي اقتران (ب) ب (أ) في التجربة. فإذا افترضنا القيام بتجربتين ناجحتين، وتكوّن مجموعة العلم الإجمالي القبلي من عضوين فقط، فسوف تكون معادلة الاحتمال العكسي كما يلي: 2/ 1* 1+ 2/ 1* 4/ 21/ 1* 1/ 10/ 8/ 5/ 4 لأنّ قيمة الاحتمال القبلي لسببيّة (أ) ل (ب) 2/ 1، وقيمة احتمال وجود (ب) في كلتا التجربتين على‏

321

وبتعبير آخر: إنّه يساوي:

2 مضروباً في نفسه بعدد التجارب+ عدد الأعضاء المعاصرة ل (أ) في (العلم 1) 2 مضروباً في نفسه بعدد التجارب‏
وهذه المعادلة تبرهن على أ نّه كلّما ازداد عدد التجارب ازدادت (2 ن)، وبالتالي ازدادت قيمة الكسر أي قيمة احتمال السببيّة. كما أ نّه كلّما ازداد في (العلم 1) عدد الأشياء المحتمل كون أيّ واحدٍ منها سبباً ل (ب) بدلًا عن (أ) ازدادت قيمة (ع 1 ن) في مقام الكسر، وهو يؤدّي إلى إضعاف قيمة الكسر، وبالتالي قيمة احتمال السببيّة.
كما يتبرهن على أساس هذه المعادلة أيضاً: أ نّه إذا ازدادت التجارب وازداد عدد (ع 1) بنسبة واحدة، فسوف يكون أثر ازدياد التجارب في تنمية احتمال السببيّة أكبر من أثر ازدياد (ع 1) في إنقاصه. فاحتمال سببيّة (أ) ل (ب) بعد ثلاث تجارب، ومع افتراض ثلاثة (ع 1) في (العلم 1)/ 8+ 83/ 811.
واحتمال سببيّة (أ) ل (ب) بعد أربع تجارب، ومع افتراض أربعة (ع 1) في (العلم 1) يساوي 16+ 164/ 1620/ 45. واحتمال السببيّة بعد خمس تجارب، ومع افتراض خمسة (ع 1)/ 32+ 325/ 3237.
وبسهولة يمكننا أن نلاحظ ما قلناه من أنّ احتمال السببيّة يزداد في هذه الفروض كلّما أضفنا إلى عدد التجارب مقداراً مساوياً لِما نضيفه إلى عدد الأعضاء المعاصرة ل (أ) في (العلم 1)، وذلك لأنّ إضافة (ع 1) جديد يؤدّي إلى زيادة واحد فقط في مقام الكسر، وأمّا إضافة تجربة واحدة فهي تؤدّي إلى ضرب البسط وما يماثله في المقام في 2، وبتعبير آخر: إنّ إضافة تجربة واحدة تؤدّي إلى‏

320

وتحدّدت الصور التي هي في صالح سببيّة (ع 1) بالضرب أيضاً، ولكنّ الضرب الذي يحدّد صور سببيّة (ع 1) من قبيل (ج) مثلًا، يختلف عن الضرب الذي كان يحدّد صور سببيّة (أ) ل (ب)، نتيجة لفقدانه عاملًا واحداً من عوامل الضرب، ففي حالة وجود أربعة من (ع 1)، والقيام بأربع تجارب يكون الضرب المحدّد لصور سببيّة (أ) ل (ب) هو: 16* 16* 16* 16، وأمّا الضرب المحدّد لصور سببيّة (ج) ل (ب) مثلًا، أو أيّ (ع 1) آخر فهو: 16* 16* 16 فقط؛ لأنّ احتمالات (ج) نفسه تدخل في عوامل الضرب الذي يحدّد صور سببيّة (أ) ل (ب)، ولا تدخل في عوامل الضرب الذي يحدّد صور سببيّة نفسه.
ثالثاً: وعلى هذا الأساس فبإمكاننا أن نختصر الكسر في المعادلة الاولى، بتقسيم كلّ واحد من الأعداد التي تمثّل صور سببيّة (ع 1) في مقام ذلك الكسر على نفسه، وتقسيم العدد الذي يمثّل صور سببيّة (أ) ل (ب) في البسط وفي المقام معاً على ذلك العدد الذي يمثّل صور سببيّة (ع 1)، وبذلك يصبح العدد الذي يمثّل صور سببيّة (أ) ل (ب) مساوياً لأحد عوامل الضرب فقط وهو: 2 مضروباً في نفسه بعدد التجارب، ويصبح العدد الذي يمثّل سببيّة (ع 1) ل (ب) واحداً فقط، وبهذا يثبت صحّة استبدال الكسر ع 3 ن‏ع 2 ن ب 2 ن+ (ع 1 ن- 1) 2 ن‏

فبدلًا عن أن نقول:
إنّ الاحتمال البعدي لسببيّة (أ) ل (ب) يساوي: عدد أعضاء (العلم 3) عدد أعضاء (العلم 2)،
نقول: إنّه يساوي:
2 للُاس ن+ عدد الأعضاء المعاصرة ل (أ) في (العلم 1) 2 للُاس ن‏

319

المتقدّمة بما يلي:

قيمة احتمال سببيّة (أ) ل (ب) بعد أيّ عدد من التجارب ومع أيّ عدد من (ع 1 ن)/ 2 ن+ (ع 1 ن- 1) 2 ن،
أي 2 مضروباً في نفسه بعدد التجارب+ عدد الأعضاء المعاصرة ل (أ) في العلم 21 مضروباً في نفسه بعدد التجارب‏
والبرهان على التطابق بين المعادلتين يتّضح من النقاط التالية:
أوّلًا: أنّ الصور التي هي في صالح سببيّة (أ) ل (ب)، ويتشكّل منها بسط الكسر في المعادلة الاولى، تحصل دائماً نتيجة لتعدّد احتمالات وجود (ت) وعدمه في التجربتين أو الثلاث تجارب، أو أيّ عدد آخر قمنا به من التجارب الناجحة، وإذا كان (ع 1) متعدّداً كما إذا كنّا نحتمل أن يكون (ت) أو (ج) أو (ه) أو (د) هو السبب ل (ب) بدلًا عن (أ)، فلكلّ (ع 1) احتمالان في التجربة الواحدة، إذ يحتمل وجوده ويحتمل عدمه، وأربعة احتمالات في تجربتين، حيث أ نّه قد يوجد في كلّ منهما، وقد يوجد في الاولى فقط، أو في الثانية فقط، أو لا يوجد فيهما معاً، وثمانية احتمالات في ثلاث تجارب، وستّة عشر احتمالًا في أربع تجارب، وهكذا. وتتكوّن في هذه الحالة (ع 2 ن) من ضرب عدد احتمالات كلّ (ع 1) بالآخر- وعدد عوامل الضرب هو عدد (ع 1)-، وكلّ عامل من عوامل الضرب يمثّل اثنين مضروباً في عدد التجارب، أي اثنين في تجربة واحدة، وأربعة في تجربتين، وثمانية في ثلاثة تجارب، وهكذا.
ثانياً: أنّ مقام الكسر في المعادلة الاولى يضمّ- إضافة إلى صور سببيّة (أ) ل (ب)- صور سببيّة كلّ (ع 1)، فإذا كان لدينا أربعة من (ع 1) مثلًا وهي (ت) (ج) (د) (ه)، دخلت الصور التي تكون في صالح سببيّة كلّ واحد منها في المقام،

318

سببيّة أحدهما؛ لأنّ هذه الحالات جميعاً غير محتملة. وبعد إسقاطها تبقى 24 حالة محتملة تكوّن مجموعة أطراف (العلم الإجمالي 3)، و 16 حالة منها في صالح سببيّة (أ) ل (ب)، ولهذا يكون احتمال هذه السببيّة في الافتراض المذكور 24/ 16.
وهكذا نجد على أساس الضرب أنّ ازدياد عدد التجارب يؤدّي إلى تنمية احتمال سببيّة (أ) ل (ب)، وأنّ ازدياد عدد أعضاء العلم الإجمالي القبلي (العلم 1) يؤدّي إلى إعاقة هذه التنمية نسبيّاً.

ونحن إذا لاحظنا الكسر 24/ 16 الذي كان يعبّر عن قيمة احتمال السببيّة بعد تجربتين ووجود ثلاث احتمالات في (العلم 1) نجد أنّ البسط في هذا الكسر يعبّر عن عدد أعضاء (العلم 2) الذي يستوعب محتملات (ت) و (ج) في تجربتين، وأنّ المقام يعبّر عن عدد أعضاء العلم الثالث.
وهكذا يمكن دائماً أن نعبّر عن قيمة احتمال السببيّة بعد أيّ عدد من التجارب، ومع افتراض أيّ عدد من الأعضاء ل (العلم 1) بكسر محدّد بسطه: عدد أعضاء (العلم 2)، ومقامه: عدد أعضاء (العلم 3)، أيّ أنّ قيمة احتمال سببيّة (أ) ل (ب)/ ع 3 ن‏ع 2 ن. وذلك لأنّ (ع 2 ن) التي تعبّر عن الحالات التي يضمّها (العلم 2) إمّا تتضمّن سببيّة (أ) ل (ب)، وإمّا حيادية، فتشتقّ منها صورتان أو عدّة صور تكون واحدة منها حتماً لصالح سببيّة (أ) ل (ب)، وبهذا يكون عدد الصور التي تعتبر في صالح سببيّة (أ) ل (ب) مساوياً دائماً ل (ع 2 ن). وأمّا (ع 3 ن) فهي عبارة عن الحالات التي تتمثّل في (العلم 3)، وهي بمجموعها تعبّر عن رقم اليقين، وبذلك تجعل مقاماً في ذلك الكسر الذي يحدّد قيمة احتمال سببيّة (أ) ل (ب).
وبإمكاننا، إذا رمزنا إلى عدد التجارب ب (ن)، أن نستبدل المعادلة

317

إجمالي نعبّر عنه ب (العلم الإجمالي 3) تضمّ مجوعته هذه الحالات الخمس. ولمّا كانت أربع منها تستبطن سببيّة (أ) ل (ب)، فسوف تكون قيمة احتمال سببيّة (أ) ل (ب) بعد تجربتين ناجحتين 5/ 4 بدلًا عن 8/ 7، ونرمز إلى كلّ عضو في العلم الإجمالي 3 ب (ع 3) وإلى مجموعة أعضائه ب (ع 3 ن).
وإذا كانت التجارب الناجحة ثلاثاً، وكان العلم الإجمالي القبلي (العلم 1) ذا عضوين فقط، فسوف تصبح قيمة احتمال سببيّة (أ) ل (ب) على أساس العلم الإجمالي البعدي خاصّة- العلم 2-: 16/ 15، وعلى أساس (العلم الإجمالي 3) الحاصل من ضرب أحد العلمين بالآخر 9/ 8؛ لأنّ أعضاء (العلم 2) بعد ثلاث تجارب ثمانية. وإذا ضرب هذا العدد في عدد أعضاء (العلم 1) حصلنا على ستّ عشرة حالة، وسبع من هذه الحالات غير ممكنة وهي: الحالات التي لا تفترض وجود (ت) في جميع التجارب الثلاث، ولا تفترض في نفس الوقت سببيّة (أ) ل (ب)، فتتكوّن مجموعة (العلم 3) من تسع حالات، ثمان منها في صالح سببيّة (أ) ل (ب).
وإذا افترضنا عضواً ثالثاً في مجموعة (العلم الإجمالي 1)، بأن كان سبب (ب) إمّا (أ) وإمّا (ت) وإمّا (ج)، فسوف تكون قيمة احتمال سببيّة (أ) ل (ب) التي تحدّد على أساس (العلم الإجمالي 3) بعد تجربتين 24/ 16 بدلًا عن 5/ 4، وذلك لأنّ عدد أعضاء (العلم 1) في هذا الافتراض 3، وعدد أعضاء (العلم 2) 16؛ لأنّ محتملات (ت) في تجربتين 4، ومحتملات ج 4، و 4* 4/ 16، و 16* 3/ 48. ويسقط من هذا العدد كلّ الحالات التي تفترض عدم تكرّر (ت) في كلتا التجربتين، وتفترض في نفس الوقت سببيّته، وكلّ الحالات التي تفترض عدم تكرّر (ج) في كلتا التجربتين، وتفترض في نفس الوقت سببيّته، وكلّ الحالات التي تفترض عدم تكرّر (ج) و (ت) في كلتا التجربتين، وتفترض في نفس الوقت‏

316

– باستثناء (أ)- ب (ع 1 ن- 1). وهذا يعني: أ نّا سوف نواجه، بعد تجربتين ناجحتين مثلًا، علمين إجماليين: (البعدي والقبلي)، ولكلّ منهما تقييم لاحتمال سببيّة (أ) ل (ب) يختلف عن تقييم الآخر: فالعلم الإجمالي البعدي- العلم 2- يقيّمه- كما عرفنا- ب 8/ 7، والعلم الإجمالي القبلي- العلم 1- يقيّمه ب 2/ 1، ويقيّم نفيه ب 2/ 1 أيضاً.
فإذا أردنا أن نطبّق قاعدة الضرب بين العلمين الإجماليين، لتكوين علم إجمالي ثالث يحدّد القيم الاحتمالية الحقيقية، فسوف نحصل بعد تجربتين على ثمان حالات، هي ناتج ضرب عدد أعضاء العلم الإجمالي البعدي- وهو أربعة- بعدد أعضاء العلم الإجمالي القبلي- وهو 2-، أي أنّ كلًا من الحالات الأربع المحتملة ل (ت) خلال تجربتين، تنقسم إلى افتراض اقتران تلك الحالة ل (ت) بسببيّة (أ) ل (ب)، وافتراض اقترانها بسببيّة (ت) ل (ب)، فتنشأ ثمان حالات، وهي كما يلي:
1- افتراض سببيّة (أ) ل (ب)، و (ت) موجودة مع كلتا التجربتين.
2- افتراض سببيّة (أ) ل (ب)، و (ت) موجودة مع الاولى فقط.
3- افتراض سببيّة (أ) ل (ب)، و (ت) موجودة مع الثانية فقط.
4- افتراض سببيّة (أ) ل (ب)، و (ت) غير موجودة مع كلّ منهما.
5- افتراض سببيّة (ت) ل (ب)، و (ت) موجودة مع كلتا التجربتين.
6- افتراض سببيّة (ت) ل (ب)، و (ت) موجودة مع الاولى فقط.
7- افتراض سببيّة (ت) ل (ب)، و (ت) موجودة مع الثانية فقط.
8- افتراض سببيّة (ت) ل (ب)، و (ت) غير موجودة إطلاقاً.
والحالات الثلاث الأخيرة غير ممكنة؛ لأنّها تعني أنّ (ب) قد وجد بدون سبب ولو مرّة واحدة على الأقلّ، فيكون أمامنا خمس حالات فقط، فيتشكّل علم‏