الاحتمال العكسي.
وهي أنّ زيادة عدد الأعضاء المحتمل كونها أسباباً ل (ب) في العلم الإجمالي القبلي، يعني أنّ القيمة الاحتمالية التي يحدّدها العلم الإجمالي البعدي لنفي سببيّة (أ) ل (ب)، ليست ضئيلة بالدرجة المطلوبة، فإنّ العلم الإجمالي البعدي، إذا اخذ وحده أساساً للتقييم كما يفرض مبدأ الحكومة، فسوف يعطي لاحتمال نفي سببيّة (أ) ل (ب) نصف القيمة الاحتمالية لتكرّر الشي‏ء المنافس ل (أ) في احتمال السببيّة ل (ب). فإذا كان منافس (أ) منحصراً في (ت) مثلًا، فسوف تكون قيمة احتمال تكرّره في تجربتين: 4/ 1، وفي ثلاث تجارب 8/ 1، وسوف يأخذ احتمال نفي سببيّة (أ) ل (ب) نصف هذه القيمة. وأمّا إذا كان هناك عدد كبير من الأشياء نحتمل كونها أسباباً ل (ب)، فسوف تكون قيمة احتمال تكرّر الجامع بين هذه الأشياء في كلّ التجارب الناجحة، أكبر كثيراً من قيمة احتمال تكرّر (ت) إذا كان هو البديل الوحيد ل (أ)، وسوف يأخذ احتمال نفي سببيّة (أ) ل (ب) من قيمة احتمال تكرّر الجامع بين الأشياء المنافسة ل (أ) قدراً أكبر من النصف بكثير؛ لأنّ تكرّر الجامع يحتوي على أقسام كثيرة من الصور المحتملة: فهناك صور وجود فرد واحد من الجامع في كلّ التجارب، وهذه الصور تعطي لاحتمال نفي سببيّة (أ) ل (ب) نصف قيمتها الاحتمالية؛ لأنّ كلّ واحدة من هذه الصور تلائم افتراض سببيّة (أ) ل (ب)، وتلائم افتراض سببية ذلك الفرد المفترض فيها تكرّره. وهناك صور وجود فردين من ذلك الجامع في كلّ التجارب ك (ت) و (ج) مثلًا، وهذه الصور تعطي لاحتمال النفي ثلثي قيمتها الاحتمالية؛ لأ نّها تلائم مع افتراض سببيّة (أ) ل (ب)، وافتراض سببيّة (ت) ل (ب)، وافتراض سببيّة (ج) ل (ب). وهناك صور وجود ثلاثة أفراد من ذلك الجامع، وهذه الصور تعطي لاحتمال النفي ثلاثة أرباع قيمتها. وهكذا يثبت أنّ الجزء

إذا كانت كبيرة جدّاً.
وهذه المشكلة تزول على أساس الحكومة؛ لأنّ الحكومة تبرهن على أنّ القيمة الاحتمالية لعدم سببيّة (أ) ل (ب) التي يحدّدها العلم القبلي، محكومة للقيمة الاحتمالية للسببية التي يحدّدها العلم البعدي، وليست معارضة لها، فلا أثر لها في تخفيضها أو المنع من نموّها، وإنّما تحدّد قيمة احتمال السببيّة على أساس العلم الإجمالي البعدي فقط.
وأمّا على أساس قاعدة الضرب فالمشكلة قائمة، ويجب- لكي يتاح التخلّص منها- إدخال تغيير على العلم الإجمالي القبلي، وذلك لأنّ هذا العلم- بصيغته التي قدّمناها- يستبطن افتراض أنّ سبب (ب) شي‏ء واحد فقط، وعلى أساس هذا الافتراض كانت قيمة احتمال سببيّة (أ) ل (ب) بموجب العلم القبلي تنخفض كلّما ازداد عدد الأشياء المحتمل كونها أسباباً ل (ب)، ولكن هذا الافتراض نفسه لا مبرّر له، ما دمنا نتحدّث عن مرحلة سابقة على كلّ استقراء وتجربة. إذ كيف يتاح في هذه المرحلة أن نعرف أنّ سبب (ب) شي‏ء واحد فقط.
وإذا أسقطنا هذا الافتراض فسوف تكون احتمالالات السببيّة ل (أ) و (ت) و (ج) و … احتمالات غير متنافية، فيظلّ احتمال سببيّة (أ) ل (ب): 2/ 1، واحتمال نفي هذه السببيّة: 2/ 1 أيضاً، مهما ازدادت احتمالات السببيّة؛ لأنّ سببية (أ) ل (ب) ونفي هذه السببيّة مجموعة متكاملة، فتشكّل علماً إجمالياً ينقسم فيه رقم اليقين على كلّ من السببيّة ونفيها بالتساوي.

مشكلة قوّة احتمال الجامع:

وهناك مشكلة اخرى يواجهها تطبيق نظرية الاحتمال على الدليل الاستقرائي، حتّى إذا انطلقنا في التطبيق من مبدأ الحكومة، بدلًا عن مبدأ

القبلي أن تؤثّر على القيمة الاحتمالية لسببيّة (أ) ل (ب) المحدّدة بموجب العلم الإجمالي البعدي.

الحكومة تدفع مشكلة الاحتمال القبلي:

وبالحكومة- التي برهنّا عليها- يمكن التخلّص من إحدى المشاكل المهمّة التي تواجه تطبيق نظرية الاحتمال على الدليل الاستقرائي.
وهذه المشكلة تقوم على أساس تطبيق قاعدة الضرب ومبدأ الاحتمال العكسي؛ لأنّ هذا الأساس يفرض التعارض بين قيمة احتمال سببيّة (أ) ل (ب) التي يحدّدها العلم الإجمالي البعدي، وقيمة احتمال نفي هذه السببيّة التي يحدّدها العلم الإجمالي القبلي. وهذا التعارض يفرض على قيمة احتمال سببيّة (أ) ل (ب) أن تنخفض نتيجة للضرب، كما لاحظنا في مثال تجربتين ناجحتين مع وجود ثلاثة أعضاء في العلم القبلي، وكلّما ازداد عدد الأعضاء في هذا العلم ازدادت قيمة احتمال نفي سببيّة (أ) ل (ب) المستمدّة من هذا العلم، وبالتالي تزداد درجة انخفاض القيمة الاحتمالية للسببية التي يحدّدها العلم الإجمالي البعدي.
ومن الواضح أنّ العلم الإجمالي القبلي إذا لوحظ بصورة سابقة على أيّ استقراء، فلا مبرّر لحصر أعضائه في (أ) و (ت)، أو في (أ) و (ت) و (ج)، بل لا بدّ من افتراض كمية كبيرة جدّاً من الأعضاء فيه؛ لأنّ سببية أيّ شي‏ء ل (ب) تكون محتملة إذا افترضنا مرحلة سابقة على أيّ استقراء وتجربة. وهذا يعني: إنّ قيمة احتمال نفي سببيّة (أ) ل (ب) التي يحدّدها العلم القبلي سوف تصبح كبيرة جدّاً، ومساوية لرقم العلم تقريباً. ولمّا كانت هذه القيمة معارضة لقيمة احتمال السببيّة التي يحدّدها العلم البعدي، فمن الطبيعي أن لا تسمح لها بالنموّ المطلوب‏

(3/ 1* 1)+ (3/ 1* 4/ 1)+ (3/ 1* 4/ 1) 3/ 1* 1/ 12/ 36/ 1/ 2/ 31/ 1/ 23.
وإذا طبّقنا الكسر الذي وضعناه لتحديد قيمة احتمال سببية (أ) ل (ب) على أساس الضرب، حصلنا على ما يلي: 22+ 222/ 46/ 23.
وأمّا إذا حدّدنا قيمة احتمال سببيّة (أ) ل (ب) على أساس الحكومة بدلًا عن الضرب، فسوف تكون 316/ 121؛ لأنّ المحدّد على هذا الأساس هو العلم الإجمالي البعدي وحده، وهذا العلم تشتمل مجموعته على ستّ عشرة حالة هي ناتج ضرب محتملات (ت) في تجربتين بمحتملات (ج) فيهما، وتسع من هذه الحالات تفترض عدم التكرّر لا في (ج) ولا في (ت)، وست تفترض التكرّر في أحدهما، وصورة واحدة تفترض تكرّرهما معاً، والتسع كلّها في صالح سببيّة (أ) ل (ب)، والستّ، نصفها في صالح ذلك، ونصفها الآخر في صالح سببية أحد الأمرين الآخرين، وأمّا الصورة التي تفترض تكرّر (ت) و (ج) معاً، فهي حيادية تجاه الثلاث، وبذلك يكون ثلث قيمتها في صالح سببيّة (أ) ل (ب)، فتكون قيمة احتمال سببيّة (أ) ل (ب) 16/ 9+ 16/ 6* 2/ 1+ 16/ 1* 3/ 1/ 316/ 121، وهذه القيمة أكبر من القيمة التي تحدَّد على أساس الضرب.
والفارق بين القيمتين يعبّر عن ذلك الجزء الذي يفنى بالضرب من القيمة الاحتمالية التي يحدّدها العلم الإجمالي البعدي لسببيّة (أ) ل (ب)؛ لأنّ الضرب يفترض تعارضاً بين قيم العلمين، فتسبّب قيم العلم الإجمالي القبلي من خلال الضرب، تخفيضاً في القيمة التي يفرضها العلم الإجمالي البعدي لاحتمال سببيّة (أ) ل (ب)، بينما لا يوجد تعارض على أساس الحكومة، ولا يمكن لقيم العلم‏

موجود في كلتا التجربتين، وهذه القيمة النافية لتكرّر (ت) في كلتا المرّتين، والمستمدّة من العلم البعدي، تنفي مصداقية (ت) للكلّي المقيّد المعلوم كونه سبباً في العلم الإجمالي القبلي، وبالتالي طرفيّته لذلك العلم؛ لأنّ ما يعلم أ نّه سبب في العلم القبلي شي‏ء موجود في كلتا التجربتين، فأيّ قيمة احتمالية تنفي وجود (ت) في كلتا التجربتين، تنفي بنفس الدرجة مصداقيّته للمعلوم بالعلم القبلي، وبذلك تكون حاكمة على القيمة الاحتماليّة لسببيّة (ت) المستمدّة من العلم القبلي، تطبيقاً للبديهية الإضافية الثالثة التي تقدّم توضيحها وإثباتها في نظرية الاحتمال؛ لأ نّنا نواجه في موقفنا هذا حالة من حالات الفرضية الاولى من الفرضيتين اللتين تفيان بالحكومة، وهي: أن يكون المعلوم في العلم الإجمالي مقيّداً بصفة هي لازم أعمّ لأحد طرفيه، وليست كذلك للطرف الآخر، والصفة هنا هي: وجود الشي‏ء في التجارب الناجحة، فإنّ هذه الصفة قيد في سبب (ب)، وهي لازم أعمّ ل (أ)، وليست كذلك بالنسبة إلى (ت).
وما ذكرناه يبرهن على أنّ قيمة احتمال سببيّة (أ) ل (ب) بعد أيّ عدد من التجارب الناجحة تحدّد على أساس العلم الإجمالي البعدي فقط، لا على أساس العلم الإجمالي الثالث الحاصل بالضرب، وسوف تكون قيمة احتمال سببيّة (أ) ل (ب) على أساس الحكومة أكبر من قيمته على أساس الضرب الذي يفترضه مبدأ الاحتمال العكسي.
وللمقارنة بين القيمتين نفترض: أنّ (ع 1 ن) (أعضاء العلم الإجمالي القبلي) ثلاثة، وهي: (أ) و (ت) و (ج)، ومعناه أنّ الاحتمال القبلي لسببيّة (أ) ل (ب) هو: 3/ 1. فإذا طبّقنا معادلة مبدأ الاحتمال العكسي بعد تجربتين ناجحتين، حصلنا على ما يلي:

افتراض سببيّة (أ) ل (ب)، هي واحد صحيح. وقيمة الاحتمال المسبق لتكرّر (ب) في كلتا التجربتين هو: ناتج الجمع بين احتمال سببيّة (أ) ل (ب)، واحتمال التكرّر على افتراض سببيّة (ت) ل (ب).
وهكذا نعرف: أنّ مبدأ الاحتمال العكسي يقوم على أساس الضرب، وتحديد قيمة احتمال سببيّة (أ) ل (ب)، وفقاً للعلم الإجمالي الثالث.

تطبيق البديهية الإضافية الثالثة (الحكومة):

ولكنّ مبدأ الاحتمال العكسي على خطأ في ذلك؛ لأنّ قاعدة الضرب إنّما تنطبق في حالة التنافي بين تقييمين لعلمين إجماليين إذا كانا متكافئين، ولا تنطبق إذا كانت القيمة التي يحدّدها أحد العلمين حاكمة على القيمة التي يحدّدها العلم الآخر، وفقاً للبديهية الإضافية الثالثة في نظرية الاحتمال.
وهذا ما نلاحظه فعلًا في العلم الإجمالي القبلي والعلم الإجمالي البعدي، فإنّ القيمة الاحتمالية التي يحدّدها العلم الإجمالي البعدي لسببيّة (أ) ل (ب)، حاكمة على القيمة الاحتمالية التي يحدّدها العلم الإجمالي القبلي لنفي سببيّة (أ) ل (ب)، فلا موضع للضرب.
ويتّضح تطبيق البديهية الإضافية الثالثة من البيان التالي:
إنّ المعلوم بالعلم الإجمالي القبلي كلّي، وهو سببية شي‏ء غير محدّد يحتمل أن يكون (أ)، ويحتمل أن يكون (ت). ولكن هذا الشي‏ء الكلّي يصبح- بعد القيام بتجربتين ناجحتين- مقيّداً بقيد، وهو كونه موجوداً في كلتا التجربتين. فسبب (ب)، رغم أ نّه غير محدّد شخصياً، ولكنّه محدّد وصفيّاً بأ نّه موجود في كلتا التجربتين. فالعلم الإجمالي الأوّل- إذن- هو: علم بأنّ سبب (ب) شي‏ء موجود في كلتا التجربتين. والعلم الإجمالي الثاني ينفي- بقيمة احتمالية كبيرة- أنّ (ت)

مضاعفة البسط، بينما لا تؤدّي إضافة تجربة واحدة و (ع 1) واحد إلى مضاعفة المقام. وكلّما ضوعف البسط ولم يضاعف المقام تزداد قيمة الكسر، ويستثنى من ذلك صورة ما إذا أضفنا إلى تجربة واحدة تجربة واحدة اخرى فقط، وإلى (ع 1) واحد (ع 1) آخر، فإنّنا في هذه الصورة نكون قد ضاعفنا البسط والمقام معاً، وبهذا يظلّ احتمال سببيّة (أ) ل (ب) كما هو. ومن أجل هذا كان احتمال سببيّة (أ) ل (ب) بعد تجربة واحدة، ومع معاصر واحد ل (أ) في العلم القبلي، يساوي 3/ 2، واحتمال سببيّته بعد تجربتين، ومع افتراض معاصرين ل (أ) في العلم القبلي، يساوي 3/ 2 أيضاً؛ لأنّ 12+ 121/ 22+ 222/ 46/ 23.

وإذا قارنّا النتائج التي انتهينا إليها في تحديد قيمة احتمال سببيّة (أ) ل (ب)، على أساس ضرب أحد العلمين بالآخر، بمبدأ الاحتمال العكسي، نجد أ نّها متّفقة تماماً مع المعادلة التي يمكن أن نحدّد بموجبها قيمة احتمال السببيّة، على أساس مبدأ الاحتمال العكسي؛ لأنّ مبدأ الاحتمال العكسي يقرّر: إنّ قيمة احتمال حادثة على أساس تكشف حقيقة ذات صلة بها هي: قيمة الاحتمال القبلي للحادثة، مضروبة في قيمة احتمال تلك الحقيقة، على افتراض وقوع الحادثة، مقسوماً على قيمة الاحتمال القبلي للحقيقة التي تكشّفت.
والحادثة هنا هي: سببيّة (أ) ل (ب)، والحقيقة التي تكشّفت هي اقتران (ب) ب (أ) في التجربة. فإذا افترضنا القيام بتجربتين ناجحتين، وتكوّن مجموعة العلم الإجمالي القبلي من عضوين فقط، فسوف تكون معادلة الاحتمال العكسي كما يلي: 2/ 1* 1+ 2/ 1* 4/ 21/ 1* 1/ 10/ 8/ 5/ 4 لأنّ قيمة الاحتمال القبلي لسببيّة (أ) ل (ب) 2/ 1، وقيمة احتمال وجود (ب) في كلتا التجربتين على‏

وبتعبير آخر: إنّه يساوي:

2 مضروباً في نفسه بعدد التجارب+ عدد الأعضاء المعاصرة ل (أ) في (العلم 1) 2 مضروباً في نفسه بعدد التجارب‏
وهذه المعادلة تبرهن على أ نّه كلّما ازداد عدد التجارب ازدادت (2 ن)، وبالتالي ازدادت قيمة الكسر أي قيمة احتمال السببيّة. كما أ نّه كلّما ازداد في (العلم 1) عدد الأشياء المحتمل كون أيّ واحدٍ منها سبباً ل (ب) بدلًا عن (أ) ازدادت قيمة (ع 1 ن) في مقام الكسر، وهو يؤدّي إلى إضعاف قيمة الكسر، وبالتالي قيمة احتمال السببيّة.
كما يتبرهن على أساس هذه المعادلة أيضاً: أ نّه إذا ازدادت التجارب وازداد عدد (ع 1) بنسبة واحدة، فسوف يكون أثر ازدياد التجارب في تنمية احتمال السببيّة أكبر من أثر ازدياد (ع 1) في إنقاصه. فاحتمال سببيّة (أ) ل (ب) بعد ثلاث تجارب، ومع افتراض ثلاثة (ع 1) في (العلم 1)/ 8+ 83/ 811.
واحتمال سببيّة (أ) ل (ب) بعد أربع تجارب، ومع افتراض أربعة (ع 1) في (العلم 1) يساوي 16+ 164/ 1620/ 45. واحتمال السببيّة بعد خمس تجارب، ومع افتراض خمسة (ع 1)/ 32+ 325/ 3237.
وبسهولة يمكننا أن نلاحظ ما قلناه من أنّ احتمال السببيّة يزداد في هذه الفروض كلّما أضفنا إلى عدد التجارب مقداراً مساوياً لِما نضيفه إلى عدد الأعضاء المعاصرة ل (أ) في (العلم 1)، وذلك لأنّ إضافة (ع 1) جديد يؤدّي إلى زيادة واحد فقط في مقام الكسر، وأمّا إضافة تجربة واحدة فهي تؤدّي إلى ضرب البسط وما يماثله في المقام في 2، وبتعبير آخر: إنّ إضافة تجربة واحدة تؤدّي إلى‏

وتحدّدت الصور التي هي في صالح سببيّة (ع 1) بالضرب أيضاً، ولكنّ الضرب الذي يحدّد صور سببيّة (ع 1) من قبيل (ج) مثلًا، يختلف عن الضرب الذي كان يحدّد صور سببيّة (أ) ل (ب)، نتيجة لفقدانه عاملًا واحداً من عوامل الضرب، ففي حالة وجود أربعة من (ع 1)، والقيام بأربع تجارب يكون الضرب المحدّد لصور سببيّة (أ) ل (ب) هو: 16* 16* 16* 16، وأمّا الضرب المحدّد لصور سببيّة (ج) ل (ب) مثلًا، أو أيّ (ع 1) آخر فهو: 16* 16* 16 فقط؛ لأنّ احتمالات (ج) نفسه تدخل في عوامل الضرب الذي يحدّد صور سببيّة (أ) ل (ب)، ولا تدخل في عوامل الضرب الذي يحدّد صور سببيّة نفسه.
ثالثاً: وعلى هذا الأساس فبإمكاننا أن نختصر الكسر في المعادلة الاولى، بتقسيم كلّ واحد من الأعداد التي تمثّل صور سببيّة (ع 1) في مقام ذلك الكسر على نفسه، وتقسيم العدد الذي يمثّل صور سببيّة (أ) ل (ب) في البسط وفي المقام معاً على ذلك العدد الذي يمثّل صور سببيّة (ع 1)، وبذلك يصبح العدد الذي يمثّل صور سببيّة (أ) ل (ب) مساوياً لأحد عوامل الضرب فقط وهو: 2 مضروباً في نفسه بعدد التجارب، ويصبح العدد الذي يمثّل سببيّة (ع 1) ل (ب) واحداً فقط، وبهذا يثبت صحّة استبدال الكسر ع 3 ن‏ع 2 ن ب 2 ن+ (ع 1 ن- 1) 2 ن‏

فبدلًا عن أن نقول:
إنّ الاحتمال البعدي لسببيّة (أ) ل (ب) يساوي: عدد أعضاء (العلم 3) عدد أعضاء (العلم 2)،
نقول: إنّه يساوي:
2 للُاس ن+ عدد الأعضاء المعاصرة ل (أ) في (العلم 1) 2 للُاس ن‏