ونستخلص من ذلك أ نّنا في حالة رمي قطعة النقد تلك عدداً كبيراً من المرّات نواجه علمين إجماليين:
أحدهما: العلم الإجمالي الثلاثي الأطراف الذي يحدّد لنا أنّ درجة احتمال الحادثة- أي ظهور الصورة- 3/ 2.
والآخر: العلم الإجمالي الذي تضمّ مجموعة أطرافه عدداً كبيراً من الأعضاء يساوي مجموع أعداد توافيق الصور الممكنة لتكرّر الحادثة في تلك المرّات.
ولا بدّ في هذه الحالة من ضرب أحد العلمين بالآخر؛ إذ يتكوّن لدينا علم إجمالي ثالث يساوي عدد أطرافه عدد أطراف العلم الإجمالي الثلاثي مضروباً بعدد أطراف العلم الإجمالي الآخر، وفي هذا العلم الإجمالي الثالث تعتبر الأعضاء جميعاً متساوية في درجة الاحتمال وفقاً للتعريف، وتحتلّ الحادثة دائماً في مجموعة أطراف هذا العلم مراكز نسبتها إلى عدد أعضاء تلك المجموعة يطابق دائماً النسبة التي تمثّل درجة الاحتمال، وهي حسب ما افترضنا 3/ 2.
وهكذا نعرف أنّ نسبة تكرّر الحادثة الأكبر احتمالًا في مجموعة من الاختبارات تحدّد كما يلي:
أوّلًا- على أساس العلم الإجمالي الذي تمثّل أطرافه مجموع أعداد توافيق الصور الممكنة لتكرّر الحادثة في ذلك العدد من الاختبارات، وهذا فيما إذا لم يوجد هناك علم إجمالي آخر تشتمل مجموعة أطرافه على ثلاثة أعضاء أو أكثر ويؤدّي إلى تحديد درجة احتمال الحادثة بكسر أكبر من النصف أو أصغر.
وثانياً- إذا وجد علم إجمالي آخر من هذا القبيل تُحدّد نسبة تكرّر الحادثة الأكبر احتمالًا على أساس العلم الإجمالي الثالث الناتج من ضرب أطراف أحد

في مجموع الاختبارات الأربعة أكثر عدداً من توافيق أيّ صورة اخرى، ولهذا فسوف تحتلّ مراكز أكثر في مجموعة أطراف العلم الإجمالي، وإذا ازداد عدد الاختبارات فسوف تزداد أطراف العلم الإجمالي وتظلّ دائماً توافيق الصورة التي تفترض تكرار الحادثة بنسبة 2/ 1 في مجموع الاختبارات أكثر عدداً من توافيق أيّ صورة اخرى، وهذا يفرض من زاوية العلم الإجمالي أن تكون نسبة تكرار الحادثة الأكبر احتمالًا دائماً ومهما كثرت الاختبارات 2/ 1، سواء كان احتمال الحادثة 2/ 1 أو 3/ 2 لأنّ ازدياد درجة احتمال الحادثة لا يؤثّر على أعداد توافيق الصور التي تتكوّن منها مجموعة أطراف العلم الإجمالي، وهذا يناقض نظرية برنولي، فلا بدّ إذن من استنتاج أنّ المحدّد الأساس لدرجة الاحتمال ليس هو العلم الإجمالي وفقاً للتعريف.
ولكن هذا التصوّر خاطئ ما دمنا نتكلّم عن الاحتمالات التي يمكن تحديد درجتها على أساس نظرية الاحتمال، فإنّ احتمال الحادثة التي افترضنا أنّ درجته 3/ 2 إذا كان من هذه الاحتمالات فهذا يعني أنّ درجته قد تحدّدت وفقاً لعلم إجمالي، وأنّ الحادثة كانت تحتلّ ثلثي المراكز في مجموعة أطراف ذلك العلم الإجمالي أي 3/ 2. فحينما نقول مثلًا: إنّ احتمال ظهور وجه الصورة في رمية عشوائية لهذه القطعة من النقد بالذات 3/ 2 نعني بذلك أ نّنا استطعنا بالاستقراء أن نعرف أنّ عوامل ظهور الصورة في هذه القطعة من النقد بالذات أكثر من عوامل ظهور الكتابة، أي أنّ هناك عاملين لظهور الصورة وعاملًا واحداً لظهور الكتابة، ففي رمية عشوائية لتلك القطعة نعلم إجمالًا بأنّ أحد العوامل الثلاثة سوف يتحقّق، ومجموعة أطراف هذا العلم تحتوي على ثلاثة أعضاء، فهو علم إجمالي ثلاثي الأطراف، وظهور الصورة يحتلّ مركزين في هذه المجموعة ولذلك كانت درجة احتماله 3/ 2.

عدد توافيق (2) في (4) أكثر من عدد توافيق الصور الاخرى، وهذا مطابق مع درجة احتمال الحادثة، غير أنّ عدد الاختبارات إذا ازداد فسوف تكثر الصور ويكبر عدد توافيقها، وبذلك تزداد أطراف العلم الإجمالي وتصبح مجموعة الأطراف مكوّنة من عدد كبير جدّاً من الأعضاء، ونظرية برنولي في الأعداد الكبيرة تبرهن على أنّ الصورة التي تفترض نسبة تكرّر الحادثة متطابقة مع درجة احتمالها وهي 2/ 1 سوف يزداد عدد توافيقها بازدياد عدد الاختبارات حتّى تصبح مجموعة توافيق الصور الاخرى بالنسبة إلى توافيق هذه الصورة ضئيلة جدّاً، وهذا يعني أنّ احتمال هذه الصورة سوف يكون قريباً جدّاً من الواحد؛ لأنّ الفارق النسبي بين ما تحتلّه هذه الصورة من مراكز في مجموعة أطراف العلم الإجمالي إلى عدد أعضائها جميعاً سوف يكون ضئيلًا جدّاً، أي أنّ:

عدد أعضاء مجموعة أطراف العلم الإجمالي‏عدد ما تحتلّه تلك الصورة من مراكز في مجموعة أطراف العلم الإجمالي يقترب جدّاً من 1.

المثال الثاني:

إذا افترضنا أنّ احتمال الحادثة 3/ 2، فإنّ نظرية برنولي تبرهن على أ نّه في حالة إجراء عدد كبير من الاختبارات نستطيع أن نقول بدرجة قريبة من العلم بأنّ نسبة تكرّر الحادثة في مجموع تلك الاختبارات هي 3/ 2 أي مطابقة لدرجة احتمال الحادثة.
وقد يتصوّر في البداية أنّ هذا لا يمكن أن يفسّر على أساس العلم الإجمالي، لأنّا رأينا أنّ العلم الإجمالي في المثال الأوّل تشتمل مجموعة أطرافه على ستّة عشر عضواً، وأنّ توافيق الصورة التي تفترض تكرار الحادثة بنسبة 2/ 1

4- أن يظهر في مرّتين.
5- أن يظهر في ثلاث مرّات.
والصورة الاولى لها حالة واحدة؛ لأنّ عدد توافيقها في (4) هو واحد.
والصورة الثانية لها حالة واحدة أيضاً؛ لأنّ عدد توافيقها في (4) هو واحد.
والصورة الثالثة لها أربع حالات؛ لأنّ عدد توافيق (1) في (4) هو أربعة.
والصورة الرابعة لها ستّ حالات؛ لأنّ عدد توافيق (2) في (4) هو ستّة.
والصورة الخامسة لها أربع حالات؛ لأنّ عدد توافيق (3) في (4) هو أربعة.
وعلى هذا الأساس نعرف أنّ مجموع الحالات (16) وهذا يعني أنّ لدينا علماً إجمالياً بوقوع حالة واحدة من هذه الحالات، وتحتوي مجموعة الأطراف في هذا العلم على ستّة عشر عضواً، وكلّ عضو يساوي أيّ عضو آخر في درجة الاحتمال وفقاً للتعريف، وعلى أساس هذا العلم الإجمالي نحدّد:
أوّلًا: درجة احتمال وقوع الحادثة في أيّ مرّة نعيّنها بصورة مستقلّة عن وقوعها وعدم وقوعها في المرّات الاخرى.
ثانياً: الصورة التي تتمتّع بأكبر درجة احتمالية من الصور الخمس التي استعرضناها.
أمّا الأوّل فإنّ درجة احتمال وقوع الحادثة هي 2/ 1؛ لأنّنا إذا اخترنا أيّ اختبار من الاختبارات الأربعة ولاحظنا عدد ما يحتلّه وقوع الحادثة في ذلك الاختبار من مراكز في مجموعة أطراف العلم الإجمالي نجد أ نّها 16/ 8 وهو يساوي 2/ 1.
وأمّا الثاني فإنّنا نلاحظ أنّ أكبر الصور احتمالًا هي الصورة الرابعة التي تفترض ظهور وجه الصورة مرّتين أي 2/ 1 من مجموع عدد الاختبارات؛ لأن‏

مجموعة مكوّنة من عدد كبير من الاختبارات- ولنرمز إليه ب (ن)- وكان احتمال وقوع الحادثة (ر) في كلّ اختبار إذا لوحظ بصورة مستقلّة هو ب 1 فيمكننا أن نتوقّع باحتمال كبير قريب من الواحد (أي رقم العلم) وقوع الحادثة (ر) عدداً من المرّات، بحيث تكون نسبة تكرّرها إلى (ن) قريبة جدّاً من ب 1، ونجد تفسير هذه النظرية في العلم الإجمالي أيضاً. ولنمهّد لتوضيح ذلك بالمثالين التاليين:

المثال الأوّل:

نفرض احتمال ظهور وجه الصورة في النقد إذا رمي بطريقة عشوائيّة هو 2/ 1، وأ نّا أجرينا أربع اختبارات لقطعة النقد، فسوف نعلم إجمالًا بوقوع إحدى الصور التالية:
1- أن يظهر وجه الصورة في جميع المرّات.
2- أن لا يظهر في جميع المرّات.
3- أن يظهر في مرّة واحدة.

__________________________________________________
– إنّ مقصودي هو كون احتمال وقوع الحادثة بمقدار (ن* د ر) أو ما يقرب من هذا المقدار بفرق يتسامح فيه قريباً من الواحد.
أقول: إنّ هذا الكلام وإن كان صحيحاً نتيجة أنّ المساحة المتسامح فيها تتّسع بسعة (ن) لكن هذا أيضاً غير مستفاد من مقالة برنولي بالمقدار المذكور في هذا الكتاب، وإنّما المستفاد منها فقط هو إمكانية لغو الحدّين واعتبارهما متساويين ل (ن* د ر) أمّا أنّ احتمالات ما يبعد عن الحدّين ولو بمقدار ملحوظ لو جمعت فسوف تكون ضئيلة أمام احتمالات الحدّين أو ما يقرب منهما فحتّى لو كان صحيحاً فهو غير مستفاد من معادلة برنولي. (الحائري)

على أن يعني (م) عدد الكرات المسحوبة فعلًا أي (3) في المثال، ويعني (ن) عدد مجموع الكرات في الحقيبة وهو خمسة في المثال الذي افترضناه، وعلى هذا

ف ن+ 1 م+ 1/ 46/ 1015/ 23.

وفي نفس المثال ما هو احتمال أن تكون الكرة التالية التي سوف نسحبها بيضاء؟ ولمّا كانت الحقيبة تحتوي بعد سحب ثلاث كرات منها على كرتين وكان من المحتمل أن نسحب أياً منهما فهناك احتمالان، إذا ضربناهما في الحالات الخمس عشرة المتقدّمة تكون لدينا علم إجمالي تشتمل مجموعة أطرافه على ثلاثين عضواً، وكون الكرة التالية بيضاء يحتلّ 24 مركزاً في تلك المجموعة، وهذا يعني أنّ احتمال ذلك يساوي 30/ 24/ 5/ 4 وهو يطابق تماماً تقدير (لابلاس) للاحتمال بأ نّه يساوي م+ 2 م+ 1 أي 3+ 32+ 1

التعريف ونظرية (برنولي)[1]:

عرفنا فيما تقدّم أنّ نظرية (برنولي) للأعداد الكبيرة تؤكّد أ نّنا إذا أجرينا

[1] لعبارة استاذنا الشهيد رضوان اللَّه عليه المذكورة تحت هذا العنوان ظهور قويّ في أ نّه إذا ازداد العدد بشكل واسع كان احتمال تساوي عدد وقوع الحادثة المطلوبة ضمن ذاك العدد الواسع لحاصل ضرب( ن) في درجة احتمال تلك الحادثة في مرّة بعينها قريباً من الواحد وكانت لعبارته رحمه الله في ما مضى منه- في نهاية بحث نظريّة برنولي- أيضاً نفس الظهور وإن كان الظهور هنا أقوى منه هناك، وقد عرضت بخدمته رضوان اللَّه عليه بالنسبة لما مضى هناك أنّ هذا غير صحيح، فإنّ هذا الاحتمال وإن كان هو أقوى من كلّ احتمال آخر ولكن إذا جمعنا باقي الاحتمالات الاخرى بما فيها الفروض القريبة جدّاً من فرض( ن* د ر) لكانت أقوى من احتمال وقوع الحادثة بمقدار( ن* د ر) فأجاب رضوان اللَّه عليه:-

__________________________________________________
– وكانت قوّته بعد سحب الكرة الاولى أقلّ من السدس؛ لأنّ بياض الكرة الاولى كان قرينة ضدّه ومضعّفاً له، وهنا حينما نريد أن نعرف مدى تأثير معرفة بياض الكرة الثانية على الاحتمال المطلوب لا ينبغي أن نحسب حساب بياضها على الإطلاق وكأنّ الحقيبة لم تكن تشتمل إلّاعلى أربع كرات، فإنّ هذا يخلّ بالمعادلة ويفترض ن+ 1/ 5 مثلًا بينما هو/ 6 مثلًا، بل ينبغي أن نحسب حساب خروج كرة بيضاء على تقدير خروج كرة اخرى بيضاء، وهذا يؤدّي بنا إلى أن نقول: إنّ (خروج كرة بيضاء على تقدير خروج كرة اخرى مثلها) مسقط لاحتمالين كانت قوّتهما سدسين. والسدسان ينتقلان إلى الاحتمال المطلوب؛ لأنّ مجموع قيم الاحتمالات الواقعة بين الاحتمال المطلوب والاحتمالات المنتفية ثابت لا يتغيّر، لتساوي بياضها مع سوادها على تقدير خروج كرة اخرى بيضاء، وبالتالي يكون بياض الكرة التالية لكرة اخرى بيضاء حياديّاً تجاهها.
أمّا كيف يكون بياضها مساوياً لسوادها على تقدير خروج كرة اخرى بيضاء فواضح، إذ أنّ الحقيبة الثالثة مثلًا على تقدير خروج كرة بيضاء منها تشتمل على كرة واحدة بيضاء وثلاث كرات سوداء، وبالمقابل تشتمل الحقيبة الخامسة على تقدير خروج كرة بيضاء منها على ثلاث كرات بيضاء وكرة واحدة سوداء، والحقيبة الرابعة على هذا التقدير يكون نصفها بيضاء ونصفها سوداء وعلى هذا النسق تعرف حساب ما إذا أخرجنا بعد ذلك كرة ثالثة بيضاء وهكذا، إذن فلو رمزنا إلى العدد المسحوب ب (م) صحّ القول بأنّ احتمال كون الحقيبة مشتملة على كرات كلّها بيضاء/ ن+ 1 م+ 1.
أمّا إذا أردنا أن نعرف القيمة الاحتمالية لبياض الكرة التي سنسحبها بعد المسحوبات البيضاء مباشرة قلنا أ نّها تساوي م+ 2 م+ 1 وذلك لأنّنا إذا لاحظنا الكرات لا إلى الأخيرة التي هي الخامسة مثلًا بل إلى أيّ رقم مقصود كان (ن) بالنسبة إليه عبارة عمّا ينتهي إلى ذاك الرقم فإذا كان الرقم المقصود هو ما بعد (م) مباشرة فَنُونُه عبارة عن (م+ 1) فالقيمة الاحتمالية لبياضه عبارة عن م+ 2 م+ 1. (الحائري)

______________________________

-بيضاء فيها، ولكن هذا لا يعني بقاء الاحتمالات الخمسة الاخرى بالتساوي، بأن يصبح الاحتمال المطلوب قيمته خُمساً؛ لأنّ الكرة البيضاء التي استخرجت من هذه الحقيبة المختارة قرينة ناقصة على أنّ هذه الحقيبة ليست حقيبةً فيها بعض الكرات السوداء، وإلّا لكان من المحتمل أنّ الكرة المستخرجة كانت تخرج سوداء لا بيضاء أمّا الحقيبة المقصودة فلا تشتمل على سوداء، وكلّما كانت الحقيبة مشتملة على كرات سوداء أكثر فاحتمالها أضعف من غيرها. هذا. وبعد أن انتفى احتمال الحقيبة الاولى نهائياً فالاحتمالات الاخرى وإن كانت تختلف في ما بينها ضعفاً وقوّة على ما عرفت لكن بالإمكان التأكّد من أنّ مجموع قيم الاحتمالات بدءاً باحتمال الحقيبة الثانية التي لا تشتمل إلّاعلى كرة بيضاء وباقي كراتها سوداء وانتهاءً بما قبل الأخير أي ما قبل الحقيبة المطلوبة. أقول: مجموع قيم هذه الاحتمالات لم يقو ولم يضعف؛ لأنّ هذا المجموع يشتمل على البياض بقدر ما يشتمل على السواد فبياض الفرد المستخرج حياديّ تجاه المجموع، إذن فقيمة احتمال الحقيبة الاولى التي كانت تساوي أيضاً ن+ 11 وقد فقدناها تضاف حتماً إلى احتمال الحقيبة المطلوبة والأخيرة وإلّا للزم أن لا يبلغ مجموع قيم الاحتمالات الباقية بما فيها الاحتمال المطلوب رقم اليقين، وهذا غير معقول. وبهذا اتّضح أنّ أيّ فرد من الكرات إذا سحبت فكانت بيضاء كان هذا قرينة بقدر ن+ 11 على حقانية الاحتمال المطلوب تضاف إلى قيمة الاحتمال المطلوب الأصلية والتي كانت تساوي ن+ 11 فإذا رمزنا إلى العدد المسحوب ب (م) صحّ القول بأنّ احتمال كون الحقيبة مشتملة على كرات كلّها بيضاء/ ن+ 1 م+ 1.
وإن شئت قلت: إنّنا حينما سحبنا الكرة الاولى فرأيناها بيضاء انتفى الاحتمال الأوّل من الاحتمالات الستّة وقوّتُه السدس ولم يؤثّر ذلك على مجموع قيم الاحتمالات المتوسّطة بين الاحتمال المفقود والاحتمال المطلوب؛ لأنّ سوادها بقدر بياضها، فبياض الكرة المستخرجة حيادي تجاهها، إذن فقد زاد احتمال المطلوب قوّةً بقدر السدس. ثمّ إذا سحبنا كرة ثانية فرأيناها بيضاء أيضاً فقدنا الاحتمال الثاني من الاحتمالات الستّة أيضاً-

ما يذكره (لابلاس) في مثال الحقائب‏[1]، إذ يحدّد هذا الاحتمال كما يلي ن+ 1 م+ 1،-

[1] معادلة لابلاس يمكن توضيحها بالشكل التالي:

إذا كانت لدينا حقيبة مشتملة على خمس كرات مثلًا فاحتمال كون جميع الكرات بيضاء/ ن+ 11 بعد فرض تفسير( ن) بعدد الكرات وفرض أنّ احتمال حادثة البياض في ذاتها/ 2/ 1 والسبب في هذه المعادلة هو أنّ عدد الاحتمالات التي تقابل الاحتمال المطلوب يساوي عدد الكرات، وهي أوّلًا أن لا يكون شي‏ء منها بيضاء، وثانياً أن تكون واحدة منها بيضاء والباقي كلّها غير بيضاء، وثالثاً أن تكون اثنتان منها بيضاء والباقي غير بيضاء، …

وهكذا إلى أن تنتهي باحتمال أن يكون كلّها بيضاء عدا واحدة منها غير بيضاء، فإذا أضفنا إليها الاحتمال المطلوب- وهو كونها جميعاً بيضاء- كان المجموع مساوياً ل ن+ 1، وهي تحمل قيم احتماليّة متساويّة- على ما افترضه لابلاس- وهذا يعني أنّ قيمة الاحتمال المطلوب تساوي ن+ 11.

وقبل أن أستمرّ في شرح المعادلة اشير إلى أنّ هذا الحساب إنّما يتمّ فيما إذا افترضنا وجود ستّ حقائب مثلًا بالصفات الستّ واخترنا عشوائياً واحدة منها، فاحتمال كونها متّصفة بالصفة المطلوبة وهي بياض كلّ الكرات التي فيها/ ن+ 11 ولا يتمّ في فرضية حقيبة واحدة؛ لأنّ الاحتمالات الستّة في فرضية حقيبة واحدة ليست متساوية، فاحتمال وجود كرة واحدة بيضاء مثلًا( بعد فرض أنّ احتمال بياض أيّ كرة هي النصف) يكون خمسة أضعاف احتمال بياض جميع الكرات؛ لأنّ وجود كرة واحدة بيضاء لها خمس صور وكلّ صورة منها تقابل صورة بياض الجميع.

وعلى أيّ حال فلنغضّ النظر الآن عن هذا الخطأ الذي وقع فيه لابلاس أو نفترض فرض تعدّد الحقائب كي نستمرّ في شرح المعادلة فنقول:

إنّ احتمال بياض جميع الكرات الخمس/ ن+ 11 على ما مضى فإذا أخرجنا منها كرة واحدة فرأيناها بيضاء فقد سقط بذلك احتمال كون الحقيبة هي الحقيبة التي لا كرة-