العلم الإجمالي الأوّل؛ لأنّه ما دام من المحتمل أن يكون من نزلاء المستشفى (ج) فمن المحتمل أن يكون هو المريض الذي علمنا إجمالًا بموته، وبهذا سوف يصبح احتمال موت أيّ واحد من اولئك العشرة الذين نعلم بأ نّهم في المستشفى (ج) أقلّ من 10/ 1؛ لأنّ العلم الإجمالي الأوّل يشتمل في هذه الحالة على إحدى عشرة قيمة احتمالية، وواحدة من هذه القيم هي قيمة احتمال أن يكون المريض الحادي عشر هو الميّت في المستشفى (ج). وأمّا العلم الإجمالي الثاني بأنّ هذا المريض إمّا في المستشفى (ج) أو في المستشفى (ب) فهو يشتمل على قيمتين احتماليتين، وواحدة منهما هي قيمة احتمال أن يكون المريض في المستشفى (ب).
ونلاحظ أنّ قيمة احتمال أن يكون المريض الحادي عشر في المستشفى (ب)- التي يشتمل عليها العلم الإجمالي الثاني- وقيمة احتمال أن يكون هو الميّت في المسشتفى (ج)- التي يشتمل عليها العلم الإجمالي الأوّل- لا يمكن أن تصدقا معاً.
ولكن هذا لا يجعل بين القيمتين تعارضاً يؤدّي إلى تأثير كلّ منهما على الاخرى، كما كان يقع في مثال القطعتين بين قيمة احتمال ظهور الصورة وقيمة احتمال ظهور غير رقم ستّة، الأمر الذي أدّى في ذلك المثال إلى تأثير كلّ من القيمتين على الاخرى بالطريقة التي حدّدها العلم الإجمالي الثالث الحاصل من ضرب العلمين.
بل الصحيح في مثال المستشفى أنّ قيمة احتمال أن يكون المريض الحادي عشر في المستشفى (ب)- أي أن لا يكون في المستشفى (ج)- لا يمكن أن تنخفض بسبب قيمة احتمال أن يكون هو الميّت من نزلاء المستشفى (ج) بل العكس هو الصحيح، وكلّما كبر احتمال أن لا يكون المريض نزيلًا في‏

من خلال الضرب وتكوين العلم الإجمالي الثالث أن يؤثّر على القيم الاحتمالية للعلم الآخر، ويسبّب انخفاضاً في بعضها. وهذا ما أطلقنا عليه سابقاً اسم قاعدة الضرب في العلوم الإجمالية.
ولكن هذه القاعدة لا تنطبق على بعض الحالات، ففي بعض الحالات التي نواجه فيها علمين إجماليين ونجد تعارضاً بين بعض القيم الاحتمالية لأحدهما وبعض القيم الاحتمالية للآخر نلاحظ أنّ القيم الاحتمالية تحدّد كلّها بموجب أحد هذين العلمين دون الآخر، وهذا يعني أنّ أحد العلمين سوف يستأثر وحده بإعطاء القيم النهائية، وفي حالة من هذا القبيل لا مبرّر للضرب، بل تصدق بدلًا عن قاعدة الضرب قاعدة اخرى نطلق عليها اسم حكومة بعض العلوم الإجمالية على بعض.
ولنبدأ الآن بالمثال ثمّ التفسير:
لنفرض أ نّا حصلنا على علم إجمالي بأنّ إنساناً مريضاً في المستشفى (ج) قد مات. ونعلم في نفس الوقت بأنّ المستشفى (ج) يحتوي على عشرة مرضى.
ففي هذه الحالة سوف تكون قيمة احتمال أن يكون أيّ واحد من هؤلاء العشرة ميتاً 10/ 1؛ لأنّ العلم الإجمالي يحتوي على عشرة أطراف.
ولكن يمكننا أن نفرض من ناحية اخرى أنّ هناك مريضاً عدا العشرة نشكّ في أ نّه هل هو موجود في مستشفى (ج)، أو في مستشفى (ب) الذي لم يمت فيه أحد، ونفرض أنّ نسبة دخول المريض إلى كلّ من المستشفيين واحدة، وهذا يعني وجود علم إجمالي ثانٍ بأنّ المريض الحادي عشر موجود إمّا في المستشفى (ج) وإمّا في المستشفى (ب)، فتكون قيمة احتمال وجوده في المستشفى (ج) 2/ 1 إذا افترضنا أنّ نسبة دخول المرضى إلى (ج) و (ب) واحدة.
وفي هذه الحالة يصبح هذا المريض الحادي عشر داخلًا بشكل ما في نطاق‏

ويظهر ذلك عندما نضرب أعضاء أحد العلمين بأعضاء الآخر، ونفرز الصور غير المحتملة، فسوف نحصل على علم إجمالي تتأ لّف مجموعته من سبعة أطراف، وهي:
1- ظهور الكتابة مع رقم (1)
2- ظهورها مع رقم (2)
3- ظهورها مع رقم (3)
4- ظهورها مع رقم (4)
5- ظهورها مع رقم (5)
6- ظهورها مع رقم (6)
7- ظهور الصورة مع رقم (6)
وبموجب هذا العلم الحاصل بالضرب تكون قيمة احتمال ظهور الصورة 7/ 1 وقيمة احتمال ظهور رقم (6) 7/ 2 وقيمة احتمال ظهور رقم (5) مثلًا 7/ 1.
وهذا يعني أنّ قيمة 2/ 1 التي كان أحد العلمين الإجماليين الصغيرين يحدّدها لاحتمال الصورة هبطت إلى 7/ 1، وأنّ قيمة 6/ 1 التي كان العلم الإجمالي الصغير الآخر يحدّدها لاحتمال رقم (5) هبطت إلى 7/ 1، وأنّ قيمة 6/ 1 التي كان هذا العلم يحدّدها لاحتمال رقم (6) ارتفعت إلى 7/ 2.
وهذه الانخفاضات والارتفاعات في القيم الاحتمالية هي نتيجة التعارض بين بعض القيم الاحتمالية في أحدالعلمين وبعض القيم الاحتمالية في العلم الآخر؛ لأنّ احتمال ظهور الصورة في العلم الأوّل يعارض احتمالات ظهور الأرقام من واحد إلى خمسة في العلم الثاني، وهذا التعارض يؤدّي إلى زلزلة التقييمات التي كان كلّ من العلمين يفترضها بصورة منفصلة عن الآخر.
ونعرف في هذا الضوء أنّ كلًا من العلمين الإجماليين الصغيرين قد استطاع‏

أن نحدّد قيمة كلّ طرف على أساس العلم الإجمالي الخاصّ به الذي ينتمي إليه ذلك الطرف دون أن ندخل العلم الآخر في الحساب. وأمّا إذا كانت بعض قيم أحد العلمين تتنافى مع بعض القيم الاحتمالية في العلم الآخر فقد استطعنا سابقاً أن نعرف بحكم البديهية الإضافية الثانية أ نّا كلّما حصلنا على علمين إجماليين من هذا القبيل ولم تكن أعضاء أحد العلمين أقساماً فرعيّة بالنسبة إلى أعضاء العلم الآخر فبالإمكان أن نضرب عدد أعضاء كلّ من العلمين بعدد أعضاء العلم الآخر، ونحصل على علم إجمالي كبير، وعلى أساس هذا العلم الحاصل بالضرب نحدّد القيم الاحتمالية لأعضاء العلمين الأوّلين.
وبالضرب قد تختلف قيمة العضو الواحد التي يحدّدها العلم الإجمالي الكبير عن القيمة التي يحدّدها له أحد العلمين الإجماليين الصغيرين حينما ينظر إلى كلّ من العلمين بصورة منفصلة عن الآخر. والدرجة الحقيقية إنّما تتمثّل في تلك القيمة التي يحدّدها العلم الإجمالي الكبير كما تقدّم.
فلو كانت لدينا قطعة نقد وقطعة ذات أوجه ستّة مرقّمة من واحد إلى ستّة وهممنا بقذف القطعتين معاً نواجه علمين إجماليين:
أحدهما: العلم الإجمالي بأنّ قطعة النقد إمّا تقع على وجه الصورة وإمّا تقع على وجه الكتابة.
والآخر: العلم الإجمالي بأنّ القطعة ذات الأوجه الستّة سوف تقع على أحد الأرقام الستّة.
وهذا يعني أنّ قيمة احتمال وقوع النقد على وجه الصورة التي يحدّدها العلم الأوّل 2/ 1 وقيمة احتمال وقوع القطعة الاخرى على رقم واحد 6/ 1. فإذا كنّا نعلم لأيّ سبب من الأسباب أنّ وجه الصورة لا يظهر إلّامقترناً برقم ستّة في القطعة الاخرى فسوف يؤدّي هذا إلى أن تنخفض قيمة احتمال ظهور الصورة،

ذكراً ينقسم إلى:
1- حالة كون المولود ذكراً نتيجة للعامل الأوّل.
2- حالة كون المولود ذكراً نتيجة للعامل الثاني.
3- حالة كون المولود ذكراً نتيجة للعامل الثالث.
4- حالة كون المولود ذكراً نتيجة للعامل الرابع.
5- حالة كون المولود ذكراً نتيجة للعامل الخامس.
والشي‏ء نفسه يقال عن كون المولود انثى.
وقد عرفنا في البديهية التي أوضحنا بموجبها طريقة تحديد الأعضاء في مجموعة أطراف العلم الإجمالي أنّ من شروط الطرف لكي يكون واحداً من هذه الأعضاء أن لا يهمل تقسيمه إذا كان يمتاز بإمكان التقسيم إلى أقسام عرضيّة، وبتقسيم كلّ من الطرف الأوّل والطرف الثاني من الأطراف الثلاثة في العلم الإجمالي الأوّل إلى الأقسام الخمسة تصبح الأعضاء في مجموعة أطراف العلم الإجمالي (11) بدلًا عن (3).
ونستخلص ممّا تقدّم أنّ الاستقراء يؤدّي إلى الاقتراب باحتمالاتنا إلى الحقيقة، ولكن هذا لا يعني ربط تحديد درجة الاحتمال بالتكرار مباشرة، بل إنّ الاحتمال دائماً يقوم على أساس العلم الإجمالي، والاستقراء يقرّب الاحتمال من الحقيقة عن طريق تعميق العلم الإجمالي وإثرائه.

5- بديهيات إضافية للتعريف الجديد:

الضرب والحكومة بين العلوم الإجمالية:

إذا واجهنا علمين إجماليين كلّ منهما يشتمل على قيم احتمالية عديدة فإن لم يكن هناك أيّ تنافٍ بين شي‏ء من قيم هذا العلم وشي‏ء من قيم ذلك العلم أمكننا

المجموعة، وينتج ذلك أنّ درجة احتمال أن يكون المولود خنثى 11/ 1 بدلًا عن 3/ 1.
وعلى هذا الضوء نعرف الطريقة التي تتدخّل بها معلوماتنا الاستقرائية في تغيير درجة احتمال الحادثة، فهناك دائماً في حالات التدخّل درجة قبلية لاحتمال الحادثة على أساس علم إجمالي ثابت قبل الاستقراء، ثمّ ينشأ على أساس المعلومات الاستقرائية علم إجمالي جديد يرتبط بالعوامل والأسباب التي تؤدّي إلى وجود تلك الحادثة، فإذا كانت نسبة المراكز التي تحتلّها الحادثة في مجموعة أطراف هذا العلم إلى عدد أعضائها أكبر أو أصغر من نسبة المراكز التي كانت الحادثة تحتلّها في مجموعة أطراف العلم الأوّل الثابت قبل الاستقراء فسوف تتغيّر درجة الاحتمال تبعاً لذلك.
وقد نواجه بهذا الصدد التساؤل التالي: لماذا يجب أن تحدّد درجة احتمال الحادثة على أساس العلم الإجمالي الذي يتعلّق بالعوامل والأسباب بدلًا عن العلم الإجمالي الذي يتعلّق بنفس الحادثة مباشرة؟
والجواب على ذلك أنّ هذه الثنائية بين العلمين الإجماليين شكلية وليست حقيقية؛ لأنّ الحقيقة أنّ العلم الإجمالي الأوّل هو الذى يتطوّر إلى العلم الإجمالي الثاني، ففي المثال المفترض كان لدينا علم إجمالي بأنّ المولود إمّا ذكر وإمّا انثى وإمّا خنثى، وأصبح لدينا بفضل الاستقراء علم إجمالي آخر بأنّ واحداً من أحد عشر عاملًا قد وجد في حالة هذه المرأة الحامل خمسة منها عوامل نفي الخنثى ولصالح الذكر، وخمسة منها عوامل نفي الخنثى ولصالح الانثى، وواحد منها عامل لصالح الخنثى، وهذا يعني أنّ الأطراف الثلاثة التي كانت أعضاء في مجموعة أطراف العلم الإجمالي الأوّل أصبح بالإمكان تقسيم كلّ من الطرف الأوّل والطرف الثاني منها إلى خمسة أقسام عرضيّة، فكون المولود

أن نستوعب كلّ الأسماء التي من الممكن أن يكون واحد منها اسماً لذلك الشخص ونشكّل منها مجموعة أطراف العلم الإجمالي ويكون افتراض أنّ اسم الشخص (إحسان) واحداً من تلك الأطراف الكثيرة.
وأمّا المثال الثاني فقد طبّقت فيه طريقة تحديد الأعضاء في مجموعة أطراف العلم الإجمالي تطبيقاً صحيحاً، ولكن غرابة النتيجة القائلة إنّ احتمال أن تلد المرأة خنثى 3/ 1 وخطأها نشأ عن إهمال علم إجمالي آخر أوسع، وهذه نقطة جوهرية ومهمّة جدّاً ويجب أن نوضّحها بدرجة كافية:
إنّنا في البداية إذا قطعنا أيّ صلة تقوم من أساس الاستقراء بالعالم الخارجي فسوف نملك في المثال الثاني علماً إجمالياً تحتوي مجموعة أطرافه على أعضاء ثلاثة وهو العلم الإجمالي بأنّ المولود إمّا ذكر وإمّا انثى وإمّا خنثى، وإذا حدّدنا درجة احتمال أن يكون خنثى على أساس هذا العلم فسوف تكون 3/ 1، ولكنّنا إذا أخذنا استقراءنا للعالم الخارجي بعين الاعتبار فسوف نلاحظ أنّ نسبة الخنثى في المواليد مثلًا 11/ 1، وهذا الاستقراء يتدخّل في حساب الاحتمال عن طريق إيجاده لعلم إجمالي جديد فتتغيّر درجة احتمال الخنثى وفقاً له.
وهذا العلم الإجمالي الجديد الذي يكشفه الاستقراء يتعلّق بالعوامل والأسباب التي تتدخّل في جعل المولود ذكراً أو انثى أو خنثى، فإنّ ما يدلّ عليه الاستقراء من أنّ نسبة الخنثى في المواليد 11/ 1 مثلًا يعني أ نّنا إذ افترضنا (11) عاملًا لتكوين هوية المولود فعشرة منها في صالح نفي كونه خنثى وواحد في صالح أن يكون خنثى، وبذلك يتشكّل في حالة امرأة حامل معيّنة علم إجمالي بوجود عامل واحد من أحد عشر عاملًا، وهذا العلم الإجمالي تحتوي مجموعة أطرافه على (11) عضواً، ويحتلّ كون المولود خنثى مركزاً واحداً في تلك‏

ويجب أن نستثني من ذلك حالة فريدة هي حالة الشكّ المطلق الذي يمتدّ حتّى إلى مبدأ عدم التناقض وغيره من البديهيات، فإنّ الاحتمال الذي يقوم على أساس شكّ من هذا القبيل لا يمكن أن يشمله التعريف؛ لأنّ هذا الشكّ لا يسمح بوجود علم إجمالي مهما كان نوعه، وإذا لم يوجد علم إجمالي فلا يصدق التعريف على الاحتمال.
وقد يتصوّر في البداية أنّ ما ذكرناه من شمول التعريف يؤدّي بنا إلى نتائج غريبة جدّاً، إذ يتيح لنا أن نقول عن شخص نصادفه في الطريق أنّ هذا إمّا أن يكون اسمه (إحسان) وإمّا أن لا يكون، ونشكّل مجموعة متكاملة من هذين النقيضين، ونقيم على أساس ذلك علماً إجمالياً تحتوي مجموعة أطرافه على عضوين، ونستخلص من ذلك أنّ درجة احتمال أن يكون اسمه (إحسان) 2/ 1، وكذلك يتيح لنا شمول التعريف بالصورة المتقدّمة أن نقول عن أيّ امرأة حامل سوف تلد: إنّ هذه المرأة إمّا أن تلد ذكراً وإمّا أن تلد انثى وإمّا أن تلد كائناً مشوهّاً (خنثى)، ونشكّل مجموعة متكاملة من هذه النقائض الثلاثة ونستنتج من ذلك أنّ درجة احتمال أن تلد المرأة خنثى هو 3/ 1.
ولكن هذا التصوّر خاطئ، فلنأخذ المثالين ذاتيهما لتوضيح ذلك: أمّا المثال الأوّل فالخطأ فيه ينتج عن إهمال الطريقة التي مرّت بنا في البديهية الإضافية الثانية لتحديد الأعضاء في مجموعة أطراف العلم الإجمالي، فقد تقدّم أنّ الأعضاء التي تتكوّن منها هذه المجموعة هي الأطراف التي لا تحتوي على طرف يتميّز بإمكان تقسيمه إلى أقسام عرضية وقد أهمل فيه ذلك التقسيم، وفي هذا المثال يعتبر أحد الطرفين من هذا القبيل وهو أن لا يكون اسمه (إحسان)؛ لأنّ هذا يمكن أن يقسّم إلى أقسام عرضية بعدد البدائل المحتملة ل (إحسان) من الأسماء، فلكي نحدّد الأعضاء في مجموعة أطراف العلم بطريقة صحيحة يجب‏

العلمين الأوّلين بأطراف الآخر.
وهكذا تجد نظرية برنولي تفسيرها النهائي في العلم الإجمالي على أساس التعريف الذي عرضناه.

4- شمول التعريف:

رأينا عندما درسنا تعريف الاحتمال على أساس التكرار أ نّه لا يمكن أن يشمل عدداً من الاحتمالات.
فمثلًا إذا كنّا نراجع نتائح إحصاءات مؤكّدة لنعرف نسبة تكرّر السلّ في المدخّنين، ونتيجة لعدم وضوح الكتابة لم نستطع أن نعرف هل أنّ نسبة تكرّر السلّ هي 4/ 1 أو 5/ 1 فسوف نواجه هنا احتمالًا يتعلّق بالنسبة نفسها لا بالمدخّن، وهو أنّ النسبة تتمثّل في أيّ من الكسرين، وهذا الاحتمال لا يشمله تعريف الاحتمال على أساس التكرار، ولكن بالإمكان أن يشمله الاحتمال بالمعنى الذي عرفناه؛ لأنّ هذه الحالة ينشأ فيها علم إجمالي بأنّ نسبة التكرار هي إمّا 4/ 1 أو 5/ 1، ومجموعة الأطراف في هذا العلم تحتوي على عضوين، فتكون درجة احتمال أنّ النسبة هي هذا الكسر بالذات أو ذاك بالذات 2/ 1، وبصورة عامّة كلّما كانت هناك مجموعة متكاملة (وهي المجموعة التي تضمّ حالات متنافية ولا بدّ ان تكون واحدة منها ثابتة) فهناك أيضاً علم إجمالي، وهذا يعني شمول التعريف لاحتمالات أعضاء تلك المجموعة، وإذا عرفنا أنّ كلّ نقيضين- كالوجود والعدم والإثبات والنفي- يشكّلان مجموعة متكاملة- كما تقدّم- استطعنا أن نعرف شمول التعريف لأيّ احتمال؛ لأنّ كلّ شي‏ء نحتمله فهو عضو في مجموعة متكاملة، وبالتالي يكون عضواً في مجموعة أطراف علمٍ إجمالي.