الاسس المنطقية للاستقراء
229

وإذا كان مبدأ الاستقراء يرتكز على احتمال غير تكراري فلا بدّ من تعريف للاحتمال على هذا الأساس.

ج- تعريف جديد للاحتمال‏

ونحن نرجّح استبدال التعريفين السابقين للاحتمال بتعريف ثالث. وتمهيداً لتوضيح هذا التعريف لا بدّ أن نستذكر مفهوماً تقدّم في القسم الأوّل من بحوث هذا الكتاب، وهو العلم الإجمالي، ونريد به العلم بشي‏ء غير محدّد تحديداً كاملًا.
فإنّ العلم- أيّ علم- له معلوم، والمعلوم قد يكون مشخّصاً محدّداً، كما إذا علمت بأنّ الشمس طالعة، أو أنّ فلاناً من أصدقائك يطرق عليك الباب. ويعتبر العلم في هذه الحالة علماً تفصيلياً ومرتبطاً بشي‏ء واحد ارتباط العلم بالمعلوم، وليس في كيان العلم التفصيلي أيّ مجال للشكّ والاحتمال؛ لأنّ ذلك الشي‏ء المحدّد والمعلوم الذي يرتبط به العلم بوصفه معلوماً لا يقبل الاحتمال، وغيره من أشياء لا ارتباط للعلم التفصيلي بها.
وقد يكون المعلوم غير محدّد ولا مشخّص، كما إذا علمت بأنّ أحد أصدقائك الثلاثة بدون تعيين سوف يزورك، ويعتبر العلم في هذه الحالة علماً إجمالياً، وهو يرتبط- ارتباط العلم بالمعلوم- بشي‏ء غامض غير محدّد، لا هو زيارة هذا الصديق بالذات ولا هذا ولا ذاك، بل أحدهم، ويرتبط بكلّ واحدة من الزيارات الثلاث، ولكن ليس ارتباط علم بمعلوم؛ لأنّ أيّ واحدة منها ليست معلومة، بل ارتباط علم بما يحتمل أن يكون هو الممثّل الحقيقي للمعلوم، فإنّ المعلوم لمّا كان شيئاً غامضاً وغير محدّد فمن المحتمل أن يتمثّل في أيّ واحدة من تلك الزيارات، ونطلق على كلّ واحدة من الزيارات اسم طرف العلم الإجمالي،

228

الحادثة في أعضاء تلك الفئة. إنّ هذه البديهية لا يفرضها التكرار ولا مبدأ الاستقراء وبدونها لا نقدر على تحديد درجة الاحتمال الواقعي، فالقول بأنّ التكرار ومبدأ الاستقراء يكفيان لتحديد درجة احتمال وجود زرادشت غير صحيح.
وثانياً: إنّ هذه المحاولة لتفسير احتمالات من نوع احتمال وجود زرادشت على أساس التكرار لا يمكن أن تنجح في احتمالات من هذا النوع إذا لم تنشأ عن بيّنة معيّنة، بل عن كون المحتمل عضواً في فئة متكاملة. وأقصد بالفئة المتكاملة مجموعة من الحالات المتنافية التي لا بدّ منطقيّاً أن تكون واحدة منها صحيحة، ففي مجموعة متكاملة من هذا القبيل ليس من الضروري أن ينشأ احتمال أيّ عضو في هذه المجموعة من بيّنة، وكلّ نقيضين أي (الوجود والعدم) أو (النفي والإثبات) يتشكّل منهما مجموعة متكاملة؛ لأنّهما متنافيان، ومن الضروري منطقياً أن يكون أحدهما ثابتاً. وإذا أطلقنا على المجموعة المتأ لّفة من النقيضين اسم المجموعة المتكاملة الثنائية أمكننا القول بأنّ كلّ مجموعة متكاملة ثنائية ينشأ فيها احتمال لكلّ عضو فيها نتيجة لنفس الضرورة المنطقيّة التي جعلت منها مجموعة متكاملة ثنائية دون أن نفترض أيّ بيّنة على هذا العضو أو ذاك.
وثالثاً: إنّ مبدأ الاستقراء نفسه يرتكز على الاحتمال، وليس الاحتمال الذي يرتكز عليه الاستقراء تكراراً بل هو من نوع آخر رغم أنّ كلّ استقراء يشتمل على تكرار، فنحن حينما نستقرئ عدداً من أعضاء الفئة التي تنتمي إليها البيّنة الدالّة على وجود زرادشت ونلاحظ أ نّها صادقة بنسبة معيّنة نجد في هذا الاستقراء تكراراً، ولكن مبدأ الاستقراء الذي يبرّر تعميم النتيجة على سائر أعضاء الفئة لا يستند إلى الاحتمال بوصفه مجرّد تعبير عن هذا التكرار بل يستند إلى الاحتمال بمعنى آخر أكتفي الآن بالإشارة إليه تاركاً توضيحه إلى ما يأتي،

227

على أساس الاستقراء فنثبت استقرائياً أنّ 2/ 1 من مجموع أعضاء تلك الفئة يعتبر صادقاً، وهذا يعني وجود احتمال بدرجة 2/ 1 في صالح البيّنة الدالّة على وجود زرادشت.

ويستخلص رسل من ذلك أنّ كلّ الاحتمالات القابلة للقياس يمكن تفسيرها على أساس هذا التعريف، أي بوصفها تكرارات متناهية على أن نفترض التسليم بمبدأ الاستقراء، وهكذا يصبح احتمال أنّ زرادشت كان موجوداً مندرجاً في نطاق التعريف رغم أ نّه يبدو بعيداً عن فكرة التكرار[1].

ويقصد رسل بالتكرار الذي يطبّق عليه التعريف في مثال زرادشت تكرار الصدق في أعضاء تلك الفئة من البيّنات، فإنّ هذا التكرار يسجّل نسبة ثمّ تعمّم هذه النسبة عن طريق الاستقراء على مجموع أعضاء تلك الفئة، فتتحدّد بذلك درجة احتمال صدق البيّنة الدالّة على وجود زرادشت وبالتالي تتحدّد درجة احتمال أنّ زرادشت كان موجوداً.

ونلاحظ على هذا البيان ما يلي:

أوّلًا: إنّ احتمال وجود زرادشت احتمال واقعي ولا يمكن أن تتحدّد درجته على أساس التكرار ومبدأ الاستقراء فقط؛ لأنّ التكرار ومبدأ الاستقراء يؤدّيان إلى تحديد نسبة معيّنة للصدق في مجموع أعضاء تلك الفئة من البيّنات، وهذا هو ما أطلقنا عليه سابقاً اسم الاحتمال الافتراضي، ولا يكفي هذا وحده لاستنتاج درجة احتمال صدق البيّنة الدالّة على وجود زرادشت ما لم نضف إلى التكرار ومبدأ الاستقراء البديهية التي أشرنا إليها سابقاً والتي تقرّر أنّ درجة الاحتمال الواقعي للحادثة في عضو معيّن من فئة يجب أن تطابق نسبة تكرار

 

[1] المعرفة الإنسانية لبرتراند رسل: 378- 379

226

ثالثاً: إنّ التعريف لا ينطبق في الحالة الاولى إذا افترضنا الجهل بنسبة التكرار وتردّدها بين نسبتين، ففي هذا الفرض نواجه احتمالين واقعيين: احتمالًا للنسبة واحتمالًا لانتماء (ه) خاصّة، وكلاهما لا يمكن تحديدهما على أساس ذلك التعريف.
رابعاً: إنّ التعريف لا ينطبق في الحالة الثانية والثالثة؛ لأنّ الاحتمال الافتراضي غير متصوّر في هاتين الحالتين، والاحتمال الواقعي لا يتحدّد وفقاً لنسبة التكرار إذ لم تفترض نسبة من هذا القبيل.
وفي ضوء هذه النتائج نستخلص أنّ تعريف الاحتمال على أساس التكرار ما دام لا يشمل عدداً من أنواع الاحتمال فهو ناقص إذا أمكن فيما بعد أن نثبت أنّ تلك الاحتمالات التي يعجز هذا التعريف عن شمولها تعبّر عن علاقات بالإمكان تحديدها رياضياً على أساس البديهيات المقترحة.

محاولة لإثبات الشمول في التعريف:

وهناك محاولة لبرتراند رسل يريد بها أن يثبت شمول التعريف حتّى لاحتمالات من نوع «يحتمل أنّ زرادشت كان موجوداً»، وهو يؤكّد بهذا الصدد أنّ تعريف الاحتمال على أساس التكرار يكفي لتفسير كلّ هذه الاحتمالات على شرط أن نسلم مسبقاً بمبدأ الاستقراء- أي المبدأ الذي يبرّر تعميم الحكم على الأفراد غير المستقرأة-، ويوضح ذلك في مثال زرادشت بالبيان التالي:
إنّ هناك بيّنة قامت على وجود زرادشت هي التي أدّت إلى احتمال أ نّه موجود، وهذه البيّنة عضو في فئة البيّنات التي من نوعها. ونفرض أ نّنا اختبرنا واستقرأنا عدداً كبيراً من أعضاء تلك الفئة من البيّنات فوجدنا أنّ نسبة معيّنة منها صادقة، ولنفرضها 2/ 1، فسوف نعمّم هذه النسبة على مجموع أعضاء تلك الفئة

225

لكن لا ندري هل أنّ الأفراد المنتمية إلى (ح) من أعضاء فئة (ل) ثلاثة أو ستّة.
إنّ في هذا الفرض يوجد احتمال افتراضي بمعنى أنّ أيّ فرد من أعضاء فئة (ل) يحتمل أن يكون عضواً في فئة (ح)، ويوجد احتمال واقعي بمعنى أنّ (ه)- وهي ترمز إلى عضو معيّن- من المحتمل أن يكون عضواً في فئة (ح). وكلّ من الاحتمالين لا يمكن أن نطبّق عليه التعريف المتقدّم ولا أن نحدّد درجته وفقاً لذلك التعريف؛ لأنّ نسبة الأعضاء المشتركة إلى مجموع أعضاء فئة (ل) مجهولة، فالاحتمال الافتراضي هنا يجب أن يتحدّث عن نسبة احتمالية مشكوكة بين الأعضاء المشتركة ومجموع أعضاء فئة (ل) بدلًا عن الحديث عن نسبة يقينية، وهذا يعني أنّ الاحتمال الافتراضي يتحوّل إلى احتمال واقعي للنسبة، فهناك إذن احتمالان واقعيان: أحدهما للنسبة، والآخر لانتماء (ه) خاصّة إلى فئة (ح) وكلاهما لا يقبلان القياس والتحديد على أساس التعريف المتقدّم.
وإلى هنا كنّا نتكلّم عن الحالة الاولى.
وأمّا في الحالتين الثانية والثالثة فلا معنى للاحتمال الافتراضي؛ لأنّ الاحتمال الافتراضي يعني نسبة الأعضاء المشتركة إلى مجموع أعضاء فئة (ل) وفي هاتين الحالتين لم نفترض نسبة من هذا القبيل، وأمّا الاحتمال الواقعي في هاتين الحالتين فلا يشمله التعريف ولا يمكن تحديده وفقاً له؛ لأنّ التعريف يربط درجة الاحتمال بدرجة التكرار ولم يفترض تكرار في الحالة الثانية والحالة الثالثة. ونخرج من ذلك بالنتائج التالية:
أوّلًا: إنّ التعريف ينطبق على الاحتمال الافتراضي في الحالة الاولى.
ثانياً: إنّ التعريف ينطبق على الاحتمال الواقعي في الحالة الاولى إذا كانت نسبة التكرار معلومة واضيفت إلى بديهيات التعريف بديهية التطابق بين النسبة ودرجة الاحتمال الواقعي.

224

عدد الأعضاء المشتركة إلى مجموع أعضاء (ل) ودرجة احتمال كون (ه) منتمياً إلى (ح).
فإذا توفّر هذان الشرطان أمكن تطبيق التعريف على الاحتمال الواقعي في الحالة الاولى كما ينطبق على الاحتمال الافتراضي فيها.
ولكن قد يبدو شي‏ء من التناقض في هذا الكلام؛ لأنّنا حين نتحدّث عن الاحتمال الواقعي بشأن (ه) نعني أ نّنا لم نختبر حال (ه) ولم نتأكّد من عضويتها لكلتا الفئتين إيجاباً أو سلباً، فإذا جعلنا الشرط الأوّل في تحديد هذا الاحتمال على أساس التعريف المتقدّم أن نكون على علم بعدد الأعضاء المنتمية إلى (ح) في مجموع أعضاء (ل) بما فيها (ه) كان معنى ذلك أ نّنا قد افترضنا اختبار حال (ه) والتأكّد من انتمائه إلى (ح) إيجاباً أو سلباً، وهذا يؤدّي إلى تناقض فحواه أ نّه لكي تحدّد درجة احتمال انتماء (ه) إلى (ح) يجب أن نتأكّد من أ نّها منتمية أو غير منتمية.
وحلّ هذا التناقض هو أ نّنا في بعض الأحوال نستطيع أن نعرف عدد أعضاء فئة (ل) المنتمين إلى (ح) دون أن نشخّص تلك الأعضاء في أفراد محدّدة، فمعرفة عدد الأعضاء المشتركة لا يجب أن تستبطن معرفة حال (ه) والتأكّد من انتمائه إلى (ح) إيجاباً أو سلباً. ومن تلك الأحوال ما إذا حصلنا على نسبة تكرّر (ح) في (ل) عن طريق الاستقراء، فإنّنا إذا حصلنا بعد ذلك على أيّ عدد كبير من أعضاء (ل) فسوف نعرف على أساس الاستقراء عدد الأعضاء المنتمية منها إلى (ح) دون أن نشخّص حال كلّ عضو بالذات.
بقي علينا أن نفحص فرضاً آخر في الحالة الاولى وهو أن يكون عدد الأعضاء المشتركة بين الفئتين غير معلوم مع العلم بوجود أعضاء مشتركة، كما إذا افترضنا أنّ عدد أعضاء فئة (ل) تسعة وأنّ بعض أعضاء هذه الفئة ينتمي إلى (ح)

223

أيّ معلومات إيجاباً أو سلباً عن وجود أعضاء مشتركة بينهما، فيكون انتماء عضو فئة (ل) إلى (ح) محتملًا.
الثالثة: أن ينقل إلينا أنّ زرادشت إنسان كان يحمل هذا الاسم ويدّعي النبوّة ويدعو إلى الإباحية عاش في زمان كذا ومكان كذا، فينشأ على هذا الأساس احتمال أنّ زرادشت كان موجوداً، ويعني هذا الاحتمال أنّ هناك فئة هي فئة مدّعي النبوّة الداعين إلى الإباحية الناشئين في مكان كذا وزمان كذا الذين اطلق عليهم اسم زرادشت، وهذه الفئة نحتمل أ نّها فارغة كما نحتمل أنّ فيها عضواً واحداً، أي أنّ زرادشت موجود.
ففي الحالة الاولى نتصوّر نوعين من الاحتمال:
أحدهما الاحتمال الافتراضي الذي نعبّر عنه في قولنا بأنّ من المحتمل أن يكون فرد ما من فئة (ل) عضواً في (ح) أيضاً، وهذا الاحتمال يمكن أن يحدّد على أساس تعريف الاحتمال المتقدّم إذا كنّا نعرف عدد الأعضاء المشتركة، فإنّ درجته بموجب هذا التعريف هي نسبة عدد الأعضاء المشتركة إلى مجموع أعضاء فئة (ل).
والنوع الآخر من الاحتمال الذي نواجهه في الحالة الاولى هو الاحتمال الواقعي، أي احتمال أن يكون هذا العضو بالذات من أعضاء فئة (ل) منتمياً إلى (ح)، ولنرمز إلى العضو المعيّن ب (ه)، وهذا الاحتمال يتوقّف تحديده على أساس تعريف الاحتمال المتقدّم على شرطين:
الأوّل: أن يكون عدد أعضاء (ل) المنتمين إلى (ح) في مجموع أعضاء (ل) بما فيهم (ه) معلوماً، فإذا افترضنا أنّ مجموع أعضاء (ل) عشرة وأنّ أحدهم هو (ه) فلا بدّ أن نعرف عدد الأعضاء المنتمين من هؤلاء العشرة إلى الفئة (ح).
الثاني: أن نفترض في أساس التعريف البديهية القائلة بالتطابق بين نسبة

222

معيّنة بين الشرط والجزاء، وهي قضيّة يقينية كالقضيّة التي يتحدّث عنها الاحتمال الافتراضي، وبإمكان الذات الكلية العلم أن تتحدّث عنها كما نتحدّث عنها تماماً.
وما دامت القضيّتان على نهج واحد فلكلّ منهما الحقّ في تمثيل الاحتمال الرياضي، ولا بدّ لتعريف الاحتمال أن يشملهما معاً، وكلّ تعريف للاحتمال لا يشمل الاحتمال الواقعي بالقدر الذي يتّصل منه بالقضيّة الشرطيّة التي ذكرناها يعتبر تعريفاً ناقصاً، فكما أنّ نسبة تكرار الذكاء في العراقيين- ولنفرضها 2/ 1- تعتبر احتمالًا رياضياً كذلك العلاقة بين درجة علمنا وجهلنا بظروف هذا العراقي بالذات وبين احتمال ذكائه بدرجة 2/ 1، فإنّ هذه العلاقة كتلك النسبة ليس فيها أيّ شكّ، وبإمكان القضيّة الرياضية أن تؤكّدها تأكيداً يقينياً.
غير أ نّي لا بدّ لي أن اشير هنا إلى أنّ هذه العلاقة لا يمكن استنتاجها من المبادئ المتقدّمة لنظرية الاحتمال فحسب؛ لأنّ المبادئ المتقدّمة بإمكانها أن تحدّد نسبة تكرار الذكاء في العراقيين، ولكن ليس بإمكانها أن تقرّر أ نّه في حالة اطّلاعنا على أنّ هذا الفرد المعيّن عراقي وعدم اطّلاعنا على أيّ شي‏ء آخر لا بدّ أن تكون درجة الاحتمال مطابقة لتلك النسبة، فلا بدّ لاستنتاج هذا التطابق من بديهية اخرى- كما سوف نعرف فيما بعد إن شاء اللَّه تعالى-. ولنفرض الآن التطابق بينهما إلى أن يأتي الحديث عن تلك البديهية.

هل يشمل التعريف كلّ الاحتمالات:

توجد حالات عديدة ينشأ فيها الاحتمال:
الاولى: أن توجد فئتان (ل، ح) وبينهما أعضاء مشتركة، فيكون انتماء عضو فئة (ل) إلى (ح) محتملًا.
الثانية: أن توجد فئتان (ل) و (ح) لكلّ منهما أفراد فعلًا، ولا تتوفّر لدينا

221

الواقعي، وعلى اليقين المتّخذ صورة الشكّ الذي تتحدّث عنه العبارة الثانية اسم الاحتمال الافتراضي. وعلى هذا الأساس قد ينشأ التصوّر التالي: وهو أنّ الاحتمال الرياضي الذي يستهدف التعريف تفسيره إنّما هو الاحتمال الافتراضي دون الاحتمال الواقعي؛ لأنّ الاحتمال الرياضي بوصفه قضيّة مستخلصة من المبادئ الرياضية لا بدّ أن يكون قضيّة يقينية تكفي تلك المبادئ لاستنتاجها، والاحتمال الواقعي ليس كذلك، فإنّه قضيّة احتمالية مشكوكة ترتبط بدرجة جهلنا بالظروف ذات الصلة، فنحن حينما نشير إلى عراقي معيّن ونقول: من المحتمل بدرجة 2/ 1 أن يكون هذا ذكياً، نتحدّث عن قضيّة مشكوكة، ولا يتولّد شكّنا هذا من المبادئ الرياضية، بل من طبيعة جهلنا بالظروف ذات الصلة بالذكاء سلباً وإيجاباً. وأمّا الاحتمال الافتراضي فهو قضيّة يقينية مستنتجة من المبادئ الرياضية وبديهيات نظرية الاحتمال استنتاجاً، ولا ترتبط هذه القضيّة بأيّ درجة من الجهل، ولهذا يمكن للَّه‏سبحانه مثلًا أن يقرّرها كما نقرّرها. فالاحتمال الرياضي إذن هو الاحتمال الافتراضي لا الواقعي، والتعريف يستهدف تفسير الاحتمال الافتراضي لا الاحتمال الواقعي.
ولكنّي أرى أنّ الاحتمال الواقعي يشتمل دائماً على قضيّتين، فنحن حينما نشير إلى فرد عراقي معيّن ونقول: من المحتمل بدرجة 2/ 1 أن يكون ذكيّاً، نقرّر في الواقع قضيّتين لا قضيّة واحدة. الاولى: إنّ ذكاء هذا الفرد محتمل فعلًا بدرجة 2/ 1. والثانية: أ نّه كلّما كانت درجة العلم والجهل بالظروف ذات الصلة بذكاء الإنسان العراقي سلباً وإيجاباً هي درجة علمنا وجهلنا بالظروف ذات الصلة بذكاء هذا الفرد المعيّن كانت درجة احتمال ذكائه 2/ 1. والقضيّة الاولى تقريرية تنبئ عن شي‏ء في الواقع الخارجي وهو ذكاء هذا الفرد ولكن على سبيل الاحتمال، والقضيّة الثانية شرطيّة لا تنبئ عن ذكاء الفرد، وإنّما تتحدّث عن علاقة