خمس كرات، والاولى من تلك الحقائب تحتوي على ثلاث كرات بيضاء من بين الكرات الخمس، والثانية تحتوي على أربع كرات بيضاء وكرة واحدة سوداء، والثالثة تحتوي على كرات كلّها بيضاء، وقد افترضنا أ نّنا اخترنا واحدة من تلك الحقائب عشوائيّاً وسحبنا منها ثلاث كرات فكانت بيضاء، فما هو احتمال أن تكون هذه الحقيبة هي الثالثة التي تحتوي على كرات بيضاء فقط؟
وهنا نواجه أيضاً علماً إجمالياً لا بدّ من تحديد درجة الاحتمال على أساسه، فنحن نعلم إجمالًا بأ نّا سحبنا ثلاث كرات بيضاء، إمّا من الحقيبة الاولى أو الثانية أو الثالثة.
وسحب ثلاث كرات بيضاء من الحقيبة الاولى له حالة واحدة.
وسحب ثلاث كرات بيضاء من الحقيبة الثانية له أربع حالات.
وسحب ثلاث كرات بيضاء من الحقيبة الثالثة له عشر حالات.
وهذا يعني أ نّا نعلم إجمالًا بواحدة من خمس عشرة حالة وكلّ حالة من هذه الحالات تعتبر عضواً في مجموعة أطراف ذلك العلم الإجمالي، وكون الحقيبة التي سحبنا منها الكرات الثلاث البيضاء هي الثالثة يحتلّ عشرة مراكز في تلك المجموعة، فتكون درجة احتمال ذلك 15/ 10 أي 3/ 2 وهو يطابق تماما

__________________________________________________
– واخرى بيان مطابقته مع حساب الحقائب في النتيجة.
والواقع أنّ حساب الحقائب إن صغناه في القالب الرياضي الذي مضى في المتن تحت عنوان «حساب الاحتمال في مثال الحقائب» فهو مصداق من مصاديق تطبيق مبدأ الاحتمال العكسي على ما شرحناه في تعليقنا هناك. وإن صغناه في قالب معادلة (لابلاس) فمن حقّنا أن نفترضه شيئاً آخر غير مبدأ الاحتمال العكسي مساوياً له في النتيجة ومعادلة (لابلاس) هي التي سنشرحها في التعليق الآتي إن شاء اللَّه تعالى. (الحائري)

أوّلًا: الحالة الثالثة عشر (و ر)

ثانياً: الحالة الرابعة عشر (و ح)

ثالثاً: الحالة الخامسة عشر (و ي)

وهذه الحالات الثلاث من حالات أن الطلقة لم تصب (أ) والهدف موضوع على (أ)، وهي كلّها غير محتملة بعد أن علمنا أنّ الهدف قد اصيب.

رابعاً: الحالة الرابعة (ج س)

خامساً: الحالة الثامنة (د س)

سادساً: الحالة الثانية عشر (ه س)

وهذه الحالات الثلاث من حالات أنّ الطلقة قد أصابت (أ) والهدف غير موضوع على (أ) فإنّ هذه الحالات تصبح غير محتملة أيضاً بعد العلم بأنّ الهدف قد اصيب، وبذلك تكون أعضاء مجموعة الأطراف في العلم الإجمالي (10) بدلًا عن (16) وكون الهدف موضوعاً على (أ) يحتلّ تسعة مراكز في هذه المجموعة البالغ عددها عشرة، وهذا يعني أنّ احتمال كون الهدف موضوعاً على (أ) بعد العلم بإصابة الهدف هو 10/ 9، وهذا مطابق تماماً مع المعادلة التي كان مبدأ الاحتمال العكسي يقدّمها لنا فيما سبق.

التعريف ومثال الحقائب‏[1]:

في مثال الحقائب كنّا نفترض ثلاث حقائب تحتوي كلّ واحدة منها على‏

[1] هذا التعبير لا يخلو من إيحاء بأنّ حساب الحقائب غير مبدأ الاحتمال العكسي، ولهذا حاول استاذنا تارة بيان مطابقة الضرب الذي يقوله مع مبدأ الاحتمال العكسي في النتيجة-

الأساس افترضنا أنّ الطلقة قد وجّهت إلى (أ) وكان احتمال أن نصيب (أ) وفقاً لما حاولناه 4/ 3، واحتمال أن نخطئ في المحاولة وتصيب الطلقة (ب) 4/ 1، وفرضنا أ نّه قيل لنا بشكل مؤكّد أ نّا أصبنا الهدف، فما هي قيمة احتمال أن يكون الهدف موضوعاً على (أ) بعد افتراض أ نّا أصبنا الهدف؟ إنّ قيمة هذا الاحتمال كانت قبل توجيه الطلقة 4/ 3 ولكنّها سوف تصبح بعد افتراض إصابة الهدف 10/ 9 وفقاً للمعادلة التي يحدّدها مبدأ الاحتمال العكسي كما تقدّم. وحينما نتأمّل المغزى الحقيقي لمبدأ الاحتمال العكسي نجد أنّ في الحالات التي ينطبق عليها علماً إجمالياً وأنّ الاحتمال تتحدّد درجته على أساس ذلك العلم.
ففي المثال السابق معنى أنّ إصابة (أ) على تقدير توجيه الرمية إليها 4/ 3 أ نّنا بالاستقراء استطعنا أن نعرف أنّ الإصابة في مثل هذه الحالة تتكرّر ثلاث مرّات في كلّ أربع رميات، وهذا يعني أنّ عوامل الإصابة ثلاثة ولنرمز إليها ب (ج، د، ه)، وعامل عدم الإصابة واحد ولنرمز إليه ب (و)، كما أنّ معنى أنّ احتمال كون الهدف موضوعاً على (أ) 4/ 3 هو أنّ هناك ثلاث عوامل لصالح ذلك وعامل واحد ينفي ذلك- ولنرمز إلى العوامل المساعدة ب (ر، ح، ي) وإلى العامل النافي ب (س)-، فإذا وجّهنا الطلقة نحو (أ) وحاولنا إصابتها فسوف يكون لدينا علم إجمالي كالتالي:
نعلم بوقوع إحدى الحالات التالية:
1- (ج ر) 2- (ج ح) 3- (ج ي) 4- (ج س)
5- (د ر) 6- (د ح) 7- (د ي) 8- (د س)
9- (ه ر) 10- (ه ح) 11- (ه ي) 12- (ه س)
13- (و ر) 14- (و ح) 15- (و ي) 16- (و س)
فإذا تأكّدنا من أ نّنا أصبنا الهدف فسوف تنتفي الاحتمالات التالية:

إجمالي، وأنّ تحديد درجة هذا الاحتمال وفقاً للتعريف يطابق تماماً الاسلوب الذي تقترحه البديهيتان لتحديدها.

وجمع الاحتمالات وضربها يرتكزان على أساس بديهيتي الاتصال والانفصال، وبذلك يثبت أنّ التعريف الذي فسّر البديهيّتين يفسّر كلّ عمليّات الجمع والضرب.

ولنأخذ بعد ذلك تباعاً ثلاث قضايا من حساب الاحتمال، وهي مبدأ الاحتمال العكسي، ومثال الحقائب، ونظرية برنولي للأعداد الكبيره، لنفسّرها على أساس التعريف الجديد.

التعريف ومبدأ الاحتمال العكسي‏[1]:

نرجع الآن إلى مثال الهدف الذي أوضحنا من خلاله- فيما تقدّم- مبدأ الاحتمال العكسي، فقد فرضنا في هذا المثال خطّاً مستقيماً مقسّماً إلى قسمين:

(أ) و (ب)، والمطلوب إطلاق النار على هدف موضوع على هذا الخطّ، ونحن لا نعلم أنّ الهدف هل وضع على (أ) أو على (ب)، وفرضنا أنّ احتمال كونه موضوعاً على (أ) 4/ 3 واحتمال كونه موضوعاً على (ب) 4/ 1، وعلى هذا

[1] الطريق الفنّي للبرهنة على مبدأ الاحتمال العكسي بالتعريف والضرب المختارين هو ما عرفته في تعليقنا السابق أمّا الطريق الذي سلكه استاذنا رضوان اللَّه عليه من أخذ مثال معيّن وتطبيق كلّ من اسلوبي مبدأ الاحتمال العكسي وضرب أطراف أحد العلمين بالآخر لكي نرى تماثل النتيجتين فليس هو الطريق الفنّي في المعادلات الرياضية، إذ قد يخطر ببال أحد أنّ هذا ليس برهاناً كلّياً على اتّحاد الطريقتين على الإطلاق، نعم لا بأس بذلك لمجرّد توضيح أنّ طريقنا يفسّر معادلة مبدأ الاحتمال العكسي وكيفية ذلك بعد كوننا متأكّدين من هذا التفسير عقلًا، ولعلّ استاذنا رحمه الله لا يقصد أكثر من هذا.( الحائري)

الاحتمال تفسيراً كاملًا، فكلّ القواعد والعمليات الحسابية التي مرّت بنا لتحديد درجة الاحتمال إذا درسناها بعمق نجد أنّ مردّها جميعاً إلى علم إجمالي يراد تحديد درجة الاحتمال على أساسه طبقاً لما يقرّره هذا التعريف.
وفي النقطة الاولى قد استطعنا أن نوضّح تفسير بديهيّتي الاتصال والانفصال على أساس هذا التعريف، ورأينا أنّ كلًا من احتمال (ل) و (ك) واحتمال (ل) أو (ك) عضو في مجموعة الاحتمالات التي تتمثّل في علم‏

__________________________________________________
– تقييد إحدى الحادثتين بقيدِ (على تقدير الحادثة الاولى) وإن شئت فقل إنّ هذا القيد أثره أ نّه يجعل كلّ أطراف أحد العلمين قابلًا للاجتماع بكلّ أطراف العلم الآخر، فلا يبقى عدا ضرب البسط في البسط والمقام في المقام، والثاني يساوق أخذ أطراف العلم الثالث الذي هو أوسع من الأوّلين، والأوّل يساوق جمع كراسي البسطين في المقام الجديد، وقد لا يكون إلّاكرسي واحد لمجموع البسطين كما لو كان كلّ من البسطين القديمين عبارة عن واحد وناتج ضرب الواحد في الواحد/ الواحد.
وبديهية الانفصال التي تستعمل لفهم قيمة الجامع بين محتملين تقول بالجمع بين قيمتي الاحتمالين مع إسقاط قيمة المجموع، وهذا أيضاً أمر طبيعي بناءً على كلّ ما مضى من التعريف وفكرة الضرب بين أطراف العلمين، فإذا شكّلنا العلم الإجمالي بشكل كان كلّ من المحتملين فيه طرفاً من الأطراف كان الجمع بين قيمتي الاحتمالين بعد إسقاط قيمة المجموع مساوقاً للجمع بين كراسي البسطين في المقام الواحد، وإسقاط قيمة المجموع إنّما هو لأجل تفادي تكرّر حساب احتمال المجموع مرّتين.
فإذا ثبت أنّ التعريف الجديد مع تفسير البسط بالكراسي التي هي في صالح المطلوب ضمن المقام وقانون ضرب أطراف أحد العلمين بأطراف الآخر يبرهن على بديهية الاتّصال والانفصال، وضممنا ذلك إلى ما مضى شرحه في بحث مبدأ الاحتمال العكسي من أنّ هذا المبدأ هي النتيجة الرياضية لبديهية الاتصال ثبت أنّ تعريفنا وضربنا يوضّح النكتة في مبدأ الاحتمال العكسي ويبرهن عليه. (الحائري)

3- انسجام التعريف مع الجانب الحسابي من الاحتمال‏[1]:

نريد في هذه النقطة أن نثبت أنّ هذا التعريف يفسّر الجانب الحسابي‏[2] من‏

[1] التعريف المختار وما عرف من قانون ضرب أطراف علمين إجماليين مع فرض كون التقسيمين عرضيين لا طوليين- أي كون الأقسام في أحد العلمين في عرض الأقسام في الآخر لا فرعاً عن بعض أقسام العلم الآخر- أقول: كلّ هذا يوضّح لنا السرّ في الجانب الحسابي من الاحتمال:

فبديهية الاتصال التي تستعمل لفهم قيمة احتمال مجموع حادثتين تقول بالضرب بين قيمة إحدى الحادثتين في قيمة الاخرى على تقدير الاولى، ونكتة ذلك تتّضح ممّا ذكرناه، فالحادثتان اللتان تجتمعان هما في الأصل عضوان لعلمين إجماليين لا لعلم إجمالي واحد؛ لأنّنا قصدنا بالعلم الإجمالي- حسب الفرض- العلم بالمجموعة المتكاملة التي لا يجتمع بعضها مع بعض فإذا أردنا أن نعرف قيمة احتمال مجموعهما لا بدّ من ضرب المقام في كلّ من الكسرين الممثّلين لقيمة أحدهما بمقام الآخر وبسطه ببسطه؛ وذلك لأنّ استنباط قيمة مجموعهما يعني أ نّنا جعلنا المجموع طرفاً واحداً لعلم إجمالي ثالث وليد لضرب أطراف أحد العلمين بأطراف الآخر بعد إسقاط الصور غير المحتملة إن كانت هناك صور غير محتملة لاجتماع بعض الأطراف ببعض، وهذا هو مساوق لضرب المقام بالمقام مع إسقاط الأطراف غير المحتملة عن طريق تقييد إحدى الحادثتين بقيدِ( على تقدير الحادثة الاولى) ولا بدّ لمعرفة البسط الجديد الذي قد يمتلك كراسي أكثر في المقام من البسط القديم من ضرب أحد البسطين بالآخر كي يحوي البسط الجديد كلّ موارد كراسي البسطين معاً في المقام ونسقط هنا أيضاً الصور غير المحتملة.

وسيكون البسط الجديد الذي هو عبارة عن مجموع كراسي البسطين القديمين مع حذف ما لا يحتمل اجتماعهما- لو كان- عبارة اخرى عن ضرب أحد البسطين في الآخر بعد-

الشرطان تحقّق غرض التعريف وتشكّل المقام في الكسر ح‏ل.
وعلى أساس البديهية الإضافية الثانية نستطيع أن نستنتج قاعدة الضرب في العلوم الإجمالية، فإذا كان لدينا علمان إجماليان ولم تكن أعضاء أحد العلمين أقساماً فرعية بالنسبة إلى أعضاء العلم الآخر فبالإمكان ضرب عدد أعضاء كلّ من العلمين بعدد أعضاء العلم الآخر، ونحصل على علم كبير، ونحدّد على أساسه القيم الاحتمالية لأعضاء العلمين الأوّلين.
فمثلًا: نعلم إجمالًا بأنّ قطعة النقد التي سوف نرميها تقع إمّا على وجه الصورة، ونرمز إلى ذلك ب (ه)، وإمّا على وجه الكتابة ونرمز إليه ب (س)، ونفترض أنّ الأرض مقسّمة إلى ثلاثة أقسام (أ) (ب) (ج)، ونعلم أ نّها سوف تقع في أحد هذه الأقسام، فهنا إذن علمان إجماليان أحدهما يحتوي على عضوين، والآخر يحتوي على ثلاثة أعضاء، وبالضرب يتكوّن لدينا علم إجمالي يحتوي على ستّة أعضاء تتوفّر فيها الشروط التي قرّرناها في البديهية المتقدّمة وهي 1- (ه أ) 2- (ه ب) 3- (ه ج) 4- (س أ) 5- (س ب) 6- (س ج).
وإذا افترضنا أ نّا كنّا نعلم لأيّ سبب من الأسباب بأنّ قطعة النقد إذا وقعت على وجه الصورة فسوف يكون وقوعها في القسم (ب) وأمّا إذا وقعت على وجه الكتابة فمن المحتمل أن تقع في أيّ قسم، فسوف يكون عدد أعضاء العلم الإجمالي الحاصل بالضرب أربعة فقط؛ لأنّ (ه أ) و (ه ج) غير محتملين وبذلك تكون قيمة احتمال وقوع النقد في قسم (ب) 4/ 2 وقيمة احتمال وقوعه في قسم (ج) 4/ 1 وقيمة احتمال وقوعه في قسم (أ) 4/ 1 وقيمة احتمال الوقوع على وجه الصورة 4/ 1 وقيمة احتمال الوقوع على وجه الكتابة 4/ 3.

أطراف العلم الإجمالي. وأمّا الصعوبة التي نشأت من استبدال محمّد وعلي بعضو واحد وهو ابن حامد فقد زالت؛ لأنّ انقسام ابن حامد إلى محمّد وعلي انقسام إلى قسمين أصليين، وكلّما كان أحد الطرفين للعلم الإجمالي منقسماً إلى قسمين أصليين، فإمّا أن يقسّم فعلًا ويعتبر كلّ قسم عضواً في مجموعة أطراف العلم الإجمالي وإمّا أن يهمل تقسيمه شريطة أن يهمل تقسيم مناظر له في الطرف الآخر، كما إذا كنّا نعلم بمجي‏ء أحد أربعة، اثنان منهم ابنا حامد واثنان منهم ابنا حميد، ففي هذه الحالة إمّا أن نعتبر كلّ واحد من الأبناء عضواً في مجموعة الأطراف وإمّا أن نهمل القسمة في كلّ من الطرفين فنعتبر مجموعة أطراف العلم تشتمل على عضوين هما ابن حامد وابن حميد.
نستنتج ممّا تقدّم التعريف التالي لمجموعة أطراف العلم الإجمالي:
مجموعة أطراف العلم الإجمالي هي المجموعة التي تضمّ كلّ أطراف العلم الإجمالي المتّصفة:
أوّلًا: بأ نّها ليست أقساماً فرعية.
ثانياً: أن لا يكون قد اهمل في بعض تلك الأطراف التقسيم إلى قسمين أصليين أو أقسام أصلية إلّاإذا كان هناك إهمال مناظر له في سائر الأطراف.
ولنطلق على هذا التعريف اسم البديهية الإضافية الثانية التي يحتاجها تفسير الاحتمال على أساس العلم الإجمالي، علاوة على البديهيات الأوّلية التي يتطلّبها حساب الاحتمال، وعلى البديهية الإضافية الاولى التي تنصّ على أنّ رقم اليقين يقسّم على أطراف العلم الإجمالي بالتساوي.
فأيّ مجموعة استوعبت كلّ أطراف العلم الإجمالي التي يتوفّر فيها هذان‏

واحد من البدائل الأربعة أيّ تأثير في تعيين الشخص الذي قد جاء فعلًا، وهذا النوع من الأقسام نطلق عليه اسم الأقسام الفرعيّة، أي أ نّها حالات متفرّعة على وقوع ذلك الطرف من العلم الإجمالي الذي قسّمناه إلى تلك الأقسام، وليس لها أيّ تأثير في وجوده.
وإذا أخذنا التقسيم الثاني نلاحظ أنّ محمّداً وعليّاً اللذين قسّمنا ابن حامد إليهما ليسا حالتين فرعيّتين لابن حامد؛ لأنّ كونهما حالتين فرعيّتين يعني أنّ ابن حامد إذا كان هو الذي قد جاء فإمّا أن يكون محمّداً وإمّا أن يكون علياً دون أيّ تأثير لمحمّد أو لعليّ في تحقيق فرضيّة مجي‏ء ابن حامد، ومن الواضح أنّ الأمر ليس كذلك، فإنّ ابن حامد إذا كان هو الذي قد جاء فإنّ السبب في مجيئه يرتبط بدوافع ذلك الشخص الخاصّ التي تحدّدها شخصيّة محمّد وشخصيّة عليّ، وهذا النوع من الأقسام نطلق عليه اسم الأقسام الأصليّة.
فالأقسام الفرعيّة هي حالات طرف من أطراف العلم الإجمالي متفرّعة على وجوده وليس لها تأثير فيه. والأقسام الأصليّة هي حالات لها تأثير في تقرير وجود ذلك الطرف الذي ينقسم إلى تلك الأقسام.
فكلّما كانت أقسام أحد الأطراف فرعيّة فلا يعتبر كلّ قسم منها عضواً بل هناك عضو واحد وهو الطرف الذي ينقسم إلى تلك الأقسام.
وكلّما كانت أقسام أحد الأطراف أصليّة فيعتبر كلّ قسم عضواً في مجموعة أطراف العلم الإجمالي.
وبذلك اندفعت الصعوبتان معاً.
أمّا الصعوبة التي نشأت من بدلات محمّد الأربع فقد زالت؛ لأنّ الصور الأربع لمجي‏ء محمّد تعتبر أقساماً فرعيّة، فلا يصحّ أن تكون أعضاء في مجموعة