تكون الكرتان معاً بيضاوين أيضاً، وقد تكون إحداهما فقط بيضاء، وقد لا تكون أيّ منها بيضاء. فلا يوجد أيّ عامل يبرّر ازدياد قيمة الاحتمال الأوّل من هذه الاحتمالات الثلاثة.

وإذا افترضنا أنّ الكرات في حقيبة (ن) مرقّمة، واستخرجنا ثلاث كرات بيضاء ولم نفحص أرقامها، فسوف توجد لدينا عشرة احتمالات؛ لأنّ أرقام هذه الكرات الثلاث هي: إمّا (1، 2، 3)، وإمّا (1، 2، 4)، وإمّا (1، 2، 5)، وإمّا (1، 3، 4)، وإمّا (1، 3، 5)، وإمّا (1، 4، 5)، وإمّا (2، 3، 4)، وإمّا (2، 4، 5)، وإمّا (2، 3، 5)، وإمّا (3، 4، 5). وكلّ هذه الاحتمالات العشرة حيادية تجاه لون الكرتين الباقيتين في حقيبة (ن)، فلا تزداد قيمة احتمال أن تكون كلّ كرات (ن) بيضاء.

وهكذا يتّضح: أ نّنا في فرضية حقيبة (ن) لا نملك أيّ علمٍ إجماليٍّ فعلًا يمكن أن نفسّر على أساسه زيادة قيمة احتمال أن تكون كلّ الكرات بيضاء[1]، أي‏

[1] بل يوجد لدينا علم إجمالي فعلًا حملي وليس شرطيّاً وذلك لأنّنا حينما سحبنا ثلاث كرات بيضاء فنحن وإن كنّا لو لاحظنا العلم الإجمالي بعشر صور التي هي عدد توافيق ثلاثة في خمسة لرأينا أنّ هذا العلم الإجمالي قد زال وتبدّل إلى علم تفصيلي بصورة واحدة فقد يقال: لا معنى لضرب أطراف هذا العلم الإجمالي بأطراف العلم الإجمالي بكون الحقيبة شبيهة بحقيبة( أ) أو( ج) أو( د). ولكن حينما نلاحظ علمنا بخروج ثلاث كرات بيضاء المقترن بكون الحقيبة شبيهة بحقيبة( أ) أو( ج) أو( د) نرى أ نّنا نعلم إجمالًا بصورة من خمس عشرة صورة:

الاولى: أن يكون ما وقع هو الصورة الوحيدة الممكنة- بعد فرض بياض كلّ ما سحب- من حقيبة شبيهة بحقيبة( أ).-

استخرجناها، وبذلك نحصل على علم إجمالي فعلًا يضمّ خمسة عشر احتمالًا، وعشرة منها في صالح احتمال أنّ الحقيبة المختارة هي (د)، فتكون قيمة هذا الاحتمال: 15/ 10.
ونصل إلى النتيجة نفسها حتّى إذا لم نفترض أنّ الكرات في الحقائب تحمل أرقاماً؛ لأنّنا- على أيّ حال- نعلم: أنّ استخراج ثلاث كرات بيض من الحقيبة (أ) له صورة واحدة، ومن الحقيبة (ج) له أربع صور، ومن الحقيبة (د) له عشر صور. فإذا استخرجنا ثلاث كرات بيضاء، فقد تكون هذه الصورة التي وقعت فعلًا هي الصورة الوحيدة لاستخراج ثلاث كرات بيض من الحقيبة (أ)، وقد تكون إحدى الصور الأربع لاستخراج ثلاث كرات بيض من الحقيبة (ج)، وقد تكون إحدى الصور العشر لاستخراج ثلاث كرات بيض من الحقيبة (د). وبذلك نواجه خمسة عشر احتمالًا. وعشرة من هذه الاحتمالات في صالح أنّ الحقيبة المختارة هي حقيبة (د).
وهذا لا ينطبق على فرضية حقيبة (ن) التي تضمّ خمس كرات، ولا ندري أنّ عدد الكرات البيض فيها هل يساوي عددها في حقيبة (أ) أو يساوي عددها في حقيبة (ج)، أو يساوي عددها في حقيبة (د)؟ فإنّنا- في هذه الفرضية- إذا استخرجنا ثلاث كرات بيضاء من الحقيبة (ن) لا نحصل على خمس عشرة صورة محتملة تكون عشر منها في صالح أنّ الكرات كلّها بيضاء وخمس منها في صالح نفي ذلك، كما كنّا نحصل في فرضية الحقائب الثلاث؛ وذلك أ نّا إذا لم نفترض أنّ الكرات التي تضمّها حقيبة (ن) مرقّمة، فمن الواضح أ نّنا نحصل على صورة واحدة مؤكّدة من صور استخراج ثلاث من كرات هذه الحقيبة، وهي الصورة التي وقعت فعلًا. وإلى جانب ذلك توجد ثلاثة احتمالات بشأن الكرتين الباقيتين، فقد

و 3 و 4 و 5، فإذا اخترنا- بصورة عشوائية- واحدة من تلك الحقائب، واستخرجنا منها ثلاث كرات بيضاء ولم نفحص أرقامها، فسوف تكون قيمة احتمال أنّ الحقيبة التي اخترناها هي (د): 15/ 10؛ لأنّنا نواجه خمس عشرة صورة، كلّها ممكنة ومحتملة فعلًا بالنسبة إلى الكرات الثلاث البيضاء التي استخرجناها، وهي:
1- أن تكون هي: 1 و 2 و 3 من الحقيبة (أ).
2- أن تكون هي: 1 و 2 و 3 من الحقيبة (ج).
3- أن تكون هي: 1 و 2 و 4 من الحقيبة (ج).
4- أن تكون هي: 1 و 3 و 4 من الحقيبة (ج).
5- أن تكون هي: 2 و 3 و 4 من الحقيبة (ج).
6- أن تكون هي: 1 و 2 و 3 من الحقيبة (د).
7- أن تكون هي: 1 و 2 و 4 من الحقيبة (د).
8- أن تكون هي: 1 و 2 و 5 من الحقيبة (د).
9- أن تكون هي: 1 و 3 و 4 من الحقيبة (د).
10- أن تكون هي: 1 و 3 و 5 من الحقيبة (د).
11- أن تكون هي: 1 و 4 و 5 من الحقيبة (د).
12- أن تكون هي: 2 و 3 و 4 من الحقيبة (د).
13- أن تكون هي: 2 و 4 و 5 من الحقيبة (د).
14- أن تكون هي: 2 و 3 و 5 من الحقيبة (د).
15- أن تكون هي: 3 و 4 و 5 من الحقيبة (د).
إنّ هذه الصور كلّها محتملة ما دمنا لم نفحص أرقام الكرات البيض التي‏

وهذا البناء الاستنباطي يتوقّف كلّه على وجود علمين إجماليين حقّاً، لكي نحصل بعد ضرب أحدهما بالآخر والاحتفاظ بالصور الممكنة الناتجة من الضرب على خمس عشرة صورة. وهنا يكمن الخطأ الأساس في هذا البناء؛ لأنّنا بعد استخراج ثلاث كرات من حقيبة (ن)، لا يوجد لدينا العلم الإجمالي الثاني، أي العلم بإحدى الصور العشر لاستخراج ثلاث من خمس، بل نملك علماً تفصيلياً بصورة معيّنة من تلك الصور العشر، وهي الصورة التي وقعت فعلًا، وأيّ صورة اخرى تصبح غير محتملة.
وعلى هذا الأساس فلا يوجد لدينا بعد استخراج ثلاث كرات فعلًا إلّاالعلم الإجمالي الأوّل بأنّ حقيبة (ن) تشبه: إمّا حقيبة (أ) أو (ج) أو (د)، والاحتمالات في هذا العلم متساوية.
وهذا يبرهن على أ نّنا فعلًا- بعد استخراج ثلاث كرات بيضاء- لا نواجه خمس عشرة صورة محتملة، كما كان يفترض (لابلاس)، بل نواجه- من ناحية طريقة استخراج 3 من 5- صورة واحدة مؤكّدة، وهي التي وقعت فعلًا. ومن ناحية عدد الكرات البيضاء في حقيبة (ن) نواجه ثلاث صور محتملة، فلا نملك مبرّراً لافتراض أنّ قيمة احتمال أنّ (ن) تشتمل على كرات كلّها بيضاء: 15/ 10.
وهذا هو الفارق الأساس بين فرضية حقيبة (ن) وفرضية اختيار حقيبة بصورة عشوائية من الحقائب: (أ) و (ج) و (د)، فنحن في حالة مواجهة الحقائب الثلاث: (أ) و (ج) و (د) نعلم مسبقاً بأنّ (أ) تشتمل على ثلاث كرات بيضاء فقط- لنفرض أ نّها هي: الكرات التي تحمل أرقام: 1 و 2 و 3-، و (ج) تشتمل على أربع كرات بيضاء فقط- ولنفرض أ نّها هي الكرات التي تحمل أرقام:
1 و 2 و 3 و 4-، و (د) تشتمل على كرات خمس كلّها بيضاء تحمل أرقام: 1 و 2

إمّا على ثلاث كرات بيضاء فقط، وإمّا على أربع كرات بيضاء فقط، وإمّا كلّها بيضاء.
وثانياً: العلم الإجمالي بأنّ استخراج ثلاث كرات من حقيبة (ن) يتمّ وفقاً لصورةٍ واحدةٍ من مجموع الصور العشر الممكنة لاستخراج ثلاث من خمس.
والعلم الإجمالي الأوّل يضمّ ثلاثة أعضاء، والعلم الإجمالي الثاني يضمّ عشرة أعضاء بعدد الصور الممكنة لاستخراج ثلاث من خمس (أي عدد توافيق 3 في 5). وبضرب عدد أعضاء العلم الإجمالي الأوّل بعدد أعضاء العلم الإجمالي الثاني تنشأ لدينا ثلاثون صورة، عشر منها: صور استخراج ثلاث من خمس على افتراض أنّ حقيبة (ن) شبيهة بحقيبة (أ)، وعشر منها: صور استخراج ثلاث من خمس على افتراض أنّ حقيبة (ن) شبيهة بحقيبة (ج)، وعشر منها: صور استخراج ثلاث من خمس على افتراض أنّ حقيبة (ن) شبيهة بحقيبة (د).
والعشر الاولى تشتمل على صورة واحدة تتضمّن إخراج ثلاث كرات بيضاء، والعشر الثانية تشتمل على أربع صور تتضمّن ذلك، والعشر الثالثة كلّها تتضمّن ذلك.
وحينما نستخرج ثلاث كرات بيضاء فعلًا، تسقط تسع صور من العشر الاولى، وستّ صور من العشر الثانية، ولا يسقط شي‏ء من العشر الثالثة. وبذلك نحتفظ من الصور الثلاثين التي نتجت عن ضرب العلمين أحدهما بالآخر ب 15 صورة، وعشر منها في صالح أنّ الحقيبة (ن) تشبه الحقيبة (د)، أي تشتمل على كرات كلّها بيضاء، فينتج أنّ قيمة هذا الاحتمال: 15/ 10 أو 3/ 2 أو ن+ 1 م+ 1.

ب (ج) وأن تكون شبيهة ب (د).
فما هو الأساس الذي يبرهن على أنّ احتمال أن تضمّ حقيبة (ن) ذات الكرات الخمس ثلاث كرات بيضاء فقط، يساوي احتمال أن تضمّ أربع كرات بيضاء فقط أو خمس كرات بيضاء؟
وهناك- ثانياً- الصعوبة التي يواجهها (لابلاس) في تبرير ازدياد قيمة احتمال أن تضمّ (ن) كرات كلّها بيضاء بعد إخراج ثلاث كرات بيضاء؛ لأنّ تبرير ذلك يتوقّف على الكشف عن علمٍ إجمالي يفسّر القيمة المتزايدة لاحتمال أن تكون الكرات كلّها بيضاء. وسوف نرى أنّ (لابلاس) لا يملك علماً إجمالياً يفسّر القيمة التي حدّدها في معادلته.
وهناك- ثالثاً- الصعوبة التي يواجهها الدليل الاستقرائي على ضوء تفسير (لابلاس) في حالات التعميم الذي يشتمل على عدد كبير جدّاً من الأفراد.
ولُاؤجّل الحديث الآن عن الصعوبة الاولى، وأفترض مؤقّتاً أ نّنا استطعنا التغلّب على الصعوبة الاولى والبرهنة على أنّ الاحتمالات الثلاثة متساوية في قيمها، ولأبدأ بالصعوبة الثانية التي تعترض طريق هذا التفسير الجديد للدليل الاستقرائي.
إنّ هذا التفسير يتلخّص- على ضوء توضيحاتنا السابقة له- في إبراز علمين إجماليين، وضرب أحدهما بالآخر والاحتفاظ بالصور الممكنة بعد الضرب. والعلمان الإجماليّان هما:
أوّلًا: العلم بأنّ حقيبة (ن) إمّا شبيهة بحقيبة (أ)، وإمّا شبيهة بحقيبة (ج)، وإمّا شبيهة بحقيبة (د). وبكلمة اخرى: العلم بأنّ كرات (ن) الخمس تحتوي‏

وقوع الحادثة تبعاً لتكرار وقوعها بنظرية الاحتمال ربطاً رياضياً خالصاً. ولهذا فإنّ من الضروري أن نصل إلى الأساس الرياضي الذي استنبط (لابلاس) منه معادلته بالطريقة التي شرحناها.
ونحن على ضوء استعراضنا لطريقة (لابلاس) في ربط الاستقراء بنظرية الاحتمال، نواجه تفسيراً جديداً للمرحلة الاستنباطية من الدليل الاستقرائي، يختلف عن تفسيرنا لهذه المرحلة في طريقة الاستنباط، وفي القيمة التي يحدّدها للاحتمال البعدي للتعميم.
وأهمّ ما يميّز هذا التفسير عن تفسيرنا السابق أ نّه إذا كان صحيحاً فهو يحرّر الدليل الاستقرائي من أيّ مصادرات قبلية باستثناء بديهيات نظرية الاحتمال، وحتّى احتمالات السببيّة التي كان تفسيرنا بحاجة إلى افتراضها كمصادرات للدليل الاستقرائي تصبح غير ضرورية، إذ يكون بإمكان الدليل الاستقرائي أن يسير في مرحلته الاستنباطية- على أساس تفسير (لابلاس)-، دون أن يفترض مسبقاً أيّ احتمال للضرورة واللزوم، ويؤدّي إلى ازدياد قيمة احتمال التعميم بازدياد التجارب الناجحة، حتّى يصل احتمال التعميم- أي احتمال القانون السببي- إلى درجة كبيرة، دون أن نضمّن التعميم أيّ فكرة عن السببيّة والضرورة واللزوم.

الصعوبات التي يواجهها تفسير (لابلاس):

ولكنّ تفسير (لابلاس) يواجه صعوبات كبيرة لا بدّ من درسها، وسوف نرى- لدى دراستها- الخطأ المنطقي في هذا التفسير.
فهناك- أوّلًا- الصعوبة التي يواجهها (لابلاس) في تبرير ما افترضه من قيم متساوية لاحتمالات أن تكون حقيبة (ن) شبيهة ب (أ) وأن تكون شبيهة

أساسها الرياضي الذي استنبطها (لابلاس) منه، وإنّما ربطها بمصادرة غير مبرهنة، إذ كتب يقول:

«إذا فرضنا أنّ الحادثة لم تقع أبداً، وأنّ احتمال وقوعها مساوٍ لاحتمال عدم وقوعها، فعندئذٍ تكون درجة الاحتمال هي 2/ 1، لكنّها إذا حدثت مرّة، زادت نسبة احتمال وقوعها في المرّة الثانية، وأصبحت 1+ 12+ 1/ 23، إذ الممكنات المتساوية في القوّة الاحتمالية أصبحت الآن ثلاثة، واحد مضى وهو بالإيجاب، واثنان منتظران: أحدهما بالإيجاب والآخر بالسلب، أعني أ نه قد أصبح هنالك عاملان يشيران في صالح الوقوع، وعامل واحد يشير في غير صالحه. وبصفة عامّة إذا وقعت حادثة ما (م) من المرّات فهذا يعطينا (م) من الممكنات في صالح وقوعها، ثمّ نضيف إلى ذلك ممكنين جديدين أحدهما في صالح وقوعها والآخر في غير صالحه، فتكون نسبة احتمال الحدوث الجديد هي: م+ 2 م+ 1»[1].

وواضح من هذا النصّ أ نّه افترض أنّ وقوع الحادثة في كلّ مرّة يعتبر عاملًا في صالح وقوعها في المرّة الثانية، وعلى هذا الأساس فسّر ازدياد قيمة احتمال وقوع الحادثة مرّة اخرى كلّما تكرّر وقوعها في الماضي، وفقاً للمعادلة التي وضعها (لابلاس).

ولكن هذا لا يكفي تبريراً للمعادلة وللازدياد المستمرّ في قيمة احتمال وقوع الحادثة مرّة اخرى كلّما تكرّر وقوعها في الماضي؛ لأنّ نفس ما افترضه النصّ: من أنّ وقوع الحادثة في كلّ مرّة عامل لصالح وقوعها مرّة اخرى، بحاجة إلى تفسير على أساس نظرية الاحتمال، ما دمنا نريد أن نربط ازدياد قيمة احتمال‏

[1] المنطق الوضعي: 524- 525

الثانية المحتملة على افتراض أن تكون (ن) شبيهة ب (ج) تتضمّن أربع صور في صالح استخراج ثلاث كرات بيضاء، والصور العشر الثالثة على افتراض أن تكون (ن) شبيهة ب (د) كلّها في صالح استخراج ثلاث كرات بيضاء. وينتج من ذلك أنّ خمس عشرة صورة في صالح استخراج ثلاث كرات بيضاء.
فإذا استخرجنا فعلًا ثلاث كرات بيضاء، فهذا يعني: أنّ واحدة من هذه الصور قد تحقّقت. ولمّا كانت عشر من هذه الصور الخمس عشرة في صالح أن تكون الحقيبة شبيهة ب (د)، فمن الضروري أن تكون قيمة احتمال أنّ الحقيبة تشتمل على كرات كلّها بيضاء: 15/ 10/ 3/ 2، كما أنّ احتمال أن تكون الكرة التالية التي سوف نسحبها بيضاء 15/ 12؛ لأنّ الصور العشر التي هي في صالح كون الحقيبة تشتمل على كرات بيضاء فقط كلّها تتضمّن أنّ الكرة التالية سوف تكون بيضاء، والصور الأربع التي هي في صالح كون الحقيبة تشتمل على أربع كرات بيضاء حيادية تجاه كون الكرة التالية سوداء أو بيضاء، وبذلك يمكن أن نفرض أنّ نصف مجموع قيمها في صالح كون الكرة التالية بيضاء، وبهذا نحصل على 12 عاملًا لصالح المطلوب من مجموع 15 عاملًا، وهذا ينتج أنّ قيمة احتمال أنّ الكرة التالية بيضاء 15/ 12/ 5/ 4.
وما يصدق على الحقيبة (ن) يصدق في كلّ حالات الاستقراء. وبذلك يخرج (لابلاس) بنتيجة تفسّر الدليل الاستقرائي على أساس نظرية الاحتمال، وتحدّد قيمة احتمال التعميم على أساس الاستقراء ب ن+ 1 م+ 1، وقيمة احتمال أنّ الفرد التالي سوف يكون متّصفاً بنفس الصفة التي ظهرت خلال الاستقراء ب م+ 2 م+ 1.
وقد استند الدكتور زكي نجيب محمود إلى معادلة (لابلاس) الثانية في تحديد درجة احتمال وقوع حادثة ما مرّةً اخرى، ولكنّه لم يفسّر المعادلة على‏