من قيمة العلم؛ لأنّها ناتجة منه. وإذا فرضنا أنّ قيمة العلم تساوي واحداً صحيحاً فقيمة مجموع الاحتمالات تساوي إذن واحداً صحيحاً، ويترتّب على ذلك أنّ قيمة كلّ عضو في مجموعة الاحتمالات تساوي كسراً معيّناً هو ناتج قسمة رقم اليقين على عدد أعضاء مجموعة الأطراف. ولمّا كانت قيمة العلم ثابتة في كلّ علم فلا بدّ أن تكون قيمة مجموع الاحتمالات ثابتة في كلّ علم أيضاً؛ لأنّ القيمتين متطابقتان.
ونعرف من ذلك أنّ قلّة عدد أعضاء مجموعة الأطراف أو زيادتها لا تؤثّر على قيمة مجموعة الاحتمالات؛ لأنّ هذه القيمة ثابتة بثبات قيمة العلم، وإنّما تؤدّي كثرة عدد الأعضاء في مجموعة الأطراف إلى ضآلة ناتج قسمة قيمة مجموعة الاحتمالات، أي قيمة العلم على عدد أعضاء مجموعة الأطراف، وبالتالي إلى ضآلة كلّ احتمال؛ لأنّ البسط إذا كان ثابتاً فإنّ ناتج القسمة يتضاءل تبعاً لازدياد المقام.

إمكان وضع التعريف في صيغتين:

في ضوء هذه التوضيحات التمهيدية يمكن أن نوضّح تعريفنا للاحتمال كما يلي:
إنّ الاحتمال الذي يمكن تحديد قيمته هو دائماً عضو في مجموعة الاحتمالات التي تتمثّل في علم من العلوم الإجماليّة، وقيمته تساوي دائماً ناتج قسمة رقم اليقين على عدد أعضاء مجموعة الأطراف التي تتمثّل في ذلك العلم الإجمالي، فإذا رمزنا إلى كلّ عضو في مجموعة الاحتمالات ب (س) وإلى رقم اليقين ب (ل) وإلى عدد أعضاء مجموعة الأطراف ب (ح) فإنّ قيمة (س) هي‏
ناتج قسمة (ل) على (ح) أي ح‏ل.

2- يزورنا (ب) فقط
3- يزورنا (ج) فقط
4- يزورنا (أ) و (ب) فقط
5- يزورنا (أ) و (ج) فقط
6- يزورنا (ب) و (ج) فقط
7- يزورنا (أ) و (ب) و (ج) معاً
وهذا علم يفرض التنافي بين أطرافه السبعة، فهو من القسم الأوّل، وهذا يعني أ نّنا في كلّ علم إجمالي سوف نواجه علماً من القسم الأوّل.
ونحن هنا نريد بالعلم الإجمالي- متى أطلقناه- العلم الإجمالي من القسم الأوّل الذي يفرض التنافي بين أطرافه، وإذا أردنا أن نعبّر أحياناً عن العلم الإجمالي الذي لا يفرض التنافي بين أطرافه فلن نستخدم للتعبير عنه كلمة العلم الإجمالي. ويفهم ممّا تقدّم أ نّنا نواجه في حالة كلّ علم إجمالي:
أوّلًا: العلم بشي‏ء غير محدّد (كلّي):
ثانياً: مجموعة الأطراف التي يعتبر كلّ عضو فيها ممثّلًا احتمالياً للمعلوم أي يحتمل أ نّه هو ذلك الشي‏ء غير المحدّد.
ثالثاً: مجموعة الاحتمالات التي يطابق عددها عدد مجموعة الأطراف؛ لأنّ كلّ طرف من أطراف العلم الإجمالي يحتمل أن يكون هو الممثّل للمعلوم، فكلّ عضو من مجموعة الأطراف يوازيه عضو في مجموعة الاحتمالات.
رابعاً: التنافي بين أعضاء مجموعة الأطراف.
وقيمة مجموعة الاحتمالات التي تتمثّل في كلّ علم إجمالي تساوي قيمة العلم وليست أصغر من قيمة العلم، وإلّا لكان يعني أنّ من المحتمل أن تكذب كلّ تلك الاحتمالات، وهذا الاحتمال غير موجود؛ لأنّه يناقض العلم، وليست أكبر

وعلى هذا الأساس نعرف أنّ علاقة العلم الإجمالي بكلّ طرف هي علاقة تستبطن بطبيعتها الاحتمال، بينما علاقة العلم- أيّ علم- بالمعلوم تستبطن بطبيعتها نفي الاحتمال، وعدد أطراف العلم الإجمالي يختلف باختلاف دائرة الترديد في المعلوم، فقد يكون ثلاثة وقد يكون أكثر، غير أنّ الحدّ الأدنى له هو اثنان؛ لأنّ حالة وجود طرف واحد فقط تعني أ نّه هو المعلوم فيصبح العلم تفصيلياً لا إجمالياً.
والعلم الإجمالي على قسمين:
أحدهما: العلم الإجمالي الذي تكون أطرافه متنافية أي لا يحتمل أن يجتمع اثنان منها في وقت واحد، كما إذا كنت تعلم أنّ واحداً فقط من أصدقائك الثلاثة سوف يزوروك، فليس من المحتمل على أساس علمك هذا أن يزورك اثنان منهم.
والقسم الآخر العلم الإجمالي الذي تكون أطرافه غير متنافية، أي أنّ من المحتمل اجتماع اثنين منها، كما إذا كنت تعلم أنّ واحداً على الأقلّ من أصدقائك الثلاثة سوف يزورك، فإنّ هذا العلم لا يفرض التنافي بين أطرافه، فيكون من المحتمل أن يزورك اثنان منهم أو الثلاثة جميعاً. وكلّ حالة من حالات القسم الثاني يمكن أن نحصل فيها على علم إجمالي من القسم الأوّل، ففي المثال الذي ذكرناه للقسم الثاني افترضنا العلم بأنّ واحداً على الأقلّ من الأصدقاء سوف يأتي وهذا العلم لا يفرض التنافي بين أطرافه، ولكن بإمكاننا أن نحصل منه على علم إجمالي يفرض التنافي بين أطرافه أي من القسم الأوّل، وذلك بأن نعبّر عن علمنا الإجمالي هذا بالصيغة التالية مشيرين إلى الأصدقاء الثلاثة برموز (أ) (ب) (ج):
نحن نعلم إجمالًا بوقوع إحدى الحالات التالية:
1- يزورنا (أ) فقط

وإذا كان مبدأ الاستقراء يرتكز على احتمال غير تكراري فلا بدّ من تعريف للاحتمال على هذا الأساس.

ج- تعريف جديد للاحتمال‏

ونحن نرجّح استبدال التعريفين السابقين للاحتمال بتعريف ثالث. وتمهيداً لتوضيح هذا التعريف لا بدّ أن نستذكر مفهوماً تقدّم في القسم الأوّل من بحوث هذا الكتاب، وهو العلم الإجمالي، ونريد به العلم بشي‏ء غير محدّد تحديداً كاملًا.
فإنّ العلم- أيّ علم- له معلوم، والمعلوم قد يكون مشخّصاً محدّداً، كما إذا علمت بأنّ الشمس طالعة، أو أنّ فلاناً من أصدقائك يطرق عليك الباب. ويعتبر العلم في هذه الحالة علماً تفصيلياً ومرتبطاً بشي‏ء واحد ارتباط العلم بالمعلوم، وليس في كيان العلم التفصيلي أيّ مجال للشكّ والاحتمال؛ لأنّ ذلك الشي‏ء المحدّد والمعلوم الذي يرتبط به العلم بوصفه معلوماً لا يقبل الاحتمال، وغيره من أشياء لا ارتباط للعلم التفصيلي بها.
وقد يكون المعلوم غير محدّد ولا مشخّص، كما إذا علمت بأنّ أحد أصدقائك الثلاثة بدون تعيين سوف يزورك، ويعتبر العلم في هذه الحالة علماً إجمالياً، وهو يرتبط- ارتباط العلم بالمعلوم- بشي‏ء غامض غير محدّد، لا هو زيارة هذا الصديق بالذات ولا هذا ولا ذاك، بل أحدهم، ويرتبط بكلّ واحدة من الزيارات الثلاث، ولكن ليس ارتباط علم بمعلوم؛ لأنّ أيّ واحدة منها ليست معلومة، بل ارتباط علم بما يحتمل أن يكون هو الممثّل الحقيقي للمعلوم، فإنّ المعلوم لمّا كان شيئاً غامضاً وغير محدّد فمن المحتمل أن يتمثّل في أيّ واحدة من تلك الزيارات، ونطلق على كلّ واحدة من الزيارات اسم طرف العلم الإجمالي،

الحادثة في أعضاء تلك الفئة. إنّ هذه البديهية لا يفرضها التكرار ولا مبدأ الاستقراء وبدونها لا نقدر على تحديد درجة الاحتمال الواقعي، فالقول بأنّ التكرار ومبدأ الاستقراء يكفيان لتحديد درجة احتمال وجود زرادشت غير صحيح.
وثانياً: إنّ هذه المحاولة لتفسير احتمالات من نوع احتمال وجود زرادشت على أساس التكرار لا يمكن أن تنجح في احتمالات من هذا النوع إذا لم تنشأ عن بيّنة معيّنة، بل عن كون المحتمل عضواً في فئة متكاملة. وأقصد بالفئة المتكاملة مجموعة من الحالات المتنافية التي لا بدّ منطقيّاً أن تكون واحدة منها صحيحة، ففي مجموعة متكاملة من هذا القبيل ليس من الضروري أن ينشأ احتمال أيّ عضو في هذه المجموعة من بيّنة، وكلّ نقيضين أي (الوجود والعدم) أو (النفي والإثبات) يتشكّل منهما مجموعة متكاملة؛ لأنّهما متنافيان، ومن الضروري منطقياً أن يكون أحدهما ثابتاً. وإذا أطلقنا على المجموعة المتأ لّفة من النقيضين اسم المجموعة المتكاملة الثنائية أمكننا القول بأنّ كلّ مجموعة متكاملة ثنائية ينشأ فيها احتمال لكلّ عضو فيها نتيجة لنفس الضرورة المنطقيّة التي جعلت منها مجموعة متكاملة ثنائية دون أن نفترض أيّ بيّنة على هذا العضو أو ذاك.
وثالثاً: إنّ مبدأ الاستقراء نفسه يرتكز على الاحتمال، وليس الاحتمال الذي يرتكز عليه الاستقراء تكراراً بل هو من نوع آخر رغم أنّ كلّ استقراء يشتمل على تكرار، فنحن حينما نستقرئ عدداً من أعضاء الفئة التي تنتمي إليها البيّنة الدالّة على وجود زرادشت ونلاحظ أ نّها صادقة بنسبة معيّنة نجد في هذا الاستقراء تكراراً، ولكن مبدأ الاستقراء الذي يبرّر تعميم النتيجة على سائر أعضاء الفئة لا يستند إلى الاحتمال بوصفه مجرّد تعبير عن هذا التكرار بل يستند إلى الاحتمال بمعنى آخر أكتفي الآن بالإشارة إليه تاركاً توضيحه إلى ما يأتي،

على أساس الاستقراء فنثبت استقرائياً أنّ 2/ 1 من مجموع أعضاء تلك الفئة يعتبر صادقاً، وهذا يعني وجود احتمال بدرجة 2/ 1 في صالح البيّنة الدالّة على وجود زرادشت.

ويستخلص رسل من ذلك أنّ كلّ الاحتمالات القابلة للقياس يمكن تفسيرها على أساس هذا التعريف، أي بوصفها تكرارات متناهية على أن نفترض التسليم بمبدأ الاستقراء، وهكذا يصبح احتمال أنّ زرادشت كان موجوداً مندرجاً في نطاق التعريف رغم أ نّه يبدو بعيداً عن فكرة التكرار[1].

ويقصد رسل بالتكرار الذي يطبّق عليه التعريف في مثال زرادشت تكرار الصدق في أعضاء تلك الفئة من البيّنات، فإنّ هذا التكرار يسجّل نسبة ثمّ تعمّم هذه النسبة عن طريق الاستقراء على مجموع أعضاء تلك الفئة، فتتحدّد بذلك درجة احتمال صدق البيّنة الدالّة على وجود زرادشت وبالتالي تتحدّد درجة احتمال أنّ زرادشت كان موجوداً.

ونلاحظ على هذا البيان ما يلي:

أوّلًا: إنّ احتمال وجود زرادشت احتمال واقعي ولا يمكن أن تتحدّد درجته على أساس التكرار ومبدأ الاستقراء فقط؛ لأنّ التكرار ومبدأ الاستقراء يؤدّيان إلى تحديد نسبة معيّنة للصدق في مجموع أعضاء تلك الفئة من البيّنات، وهذا هو ما أطلقنا عليه سابقاً اسم الاحتمال الافتراضي، ولا يكفي هذا وحده لاستنتاج درجة احتمال صدق البيّنة الدالّة على وجود زرادشت ما لم نضف إلى التكرار ومبدأ الاستقراء البديهية التي أشرنا إليها سابقاً والتي تقرّر أنّ درجة الاحتمال الواقعي للحادثة في عضو معيّن من فئة يجب أن تطابق نسبة تكرار

[1] المعرفة الإنسانية لبرتراند رسل: 378- 379

ثالثاً: إنّ التعريف لا ينطبق في الحالة الاولى إذا افترضنا الجهل بنسبة التكرار وتردّدها بين نسبتين، ففي هذا الفرض نواجه احتمالين واقعيين: احتمالًا للنسبة واحتمالًا لانتماء (ه) خاصّة، وكلاهما لا يمكن تحديدهما على أساس ذلك التعريف.
رابعاً: إنّ التعريف لا ينطبق في الحالة الثانية والثالثة؛ لأنّ الاحتمال الافتراضي غير متصوّر في هاتين الحالتين، والاحتمال الواقعي لا يتحدّد وفقاً لنسبة التكرار إذ لم تفترض نسبة من هذا القبيل.
وفي ضوء هذه النتائج نستخلص أنّ تعريف الاحتمال على أساس التكرار ما دام لا يشمل عدداً من أنواع الاحتمال فهو ناقص إذا أمكن فيما بعد أن نثبت أنّ تلك الاحتمالات التي يعجز هذا التعريف عن شمولها تعبّر عن علاقات بالإمكان تحديدها رياضياً على أساس البديهيات المقترحة.

محاولة لإثبات الشمول في التعريف:

وهناك محاولة لبرتراند رسل يريد بها أن يثبت شمول التعريف حتّى لاحتمالات من نوع «يحتمل أنّ زرادشت كان موجوداً»، وهو يؤكّد بهذا الصدد أنّ تعريف الاحتمال على أساس التكرار يكفي لتفسير كلّ هذه الاحتمالات على شرط أن نسلم مسبقاً بمبدأ الاستقراء- أي المبدأ الذي يبرّر تعميم الحكم على الأفراد غير المستقرأة-، ويوضح ذلك في مثال زرادشت بالبيان التالي:
إنّ هناك بيّنة قامت على وجود زرادشت هي التي أدّت إلى احتمال أ نّه موجود، وهذه البيّنة عضو في فئة البيّنات التي من نوعها. ونفرض أ نّنا اختبرنا واستقرأنا عدداً كبيراً من أعضاء تلك الفئة من البيّنات فوجدنا أنّ نسبة معيّنة منها صادقة، ولنفرضها 2/ 1، فسوف نعمّم هذه النسبة على مجموع أعضاء تلك الفئة

لكن لا ندري هل أنّ الأفراد المنتمية إلى (ح) من أعضاء فئة (ل) ثلاثة أو ستّة.
إنّ في هذا الفرض يوجد احتمال افتراضي بمعنى أنّ أيّ فرد من أعضاء فئة (ل) يحتمل أن يكون عضواً في فئة (ح)، ويوجد احتمال واقعي بمعنى أنّ (ه)- وهي ترمز إلى عضو معيّن- من المحتمل أن يكون عضواً في فئة (ح). وكلّ من الاحتمالين لا يمكن أن نطبّق عليه التعريف المتقدّم ولا أن نحدّد درجته وفقاً لذلك التعريف؛ لأنّ نسبة الأعضاء المشتركة إلى مجموع أعضاء فئة (ل) مجهولة، فالاحتمال الافتراضي هنا يجب أن يتحدّث عن نسبة احتمالية مشكوكة بين الأعضاء المشتركة ومجموع أعضاء فئة (ل) بدلًا عن الحديث عن نسبة يقينية، وهذا يعني أنّ الاحتمال الافتراضي يتحوّل إلى احتمال واقعي للنسبة، فهناك إذن احتمالان واقعيان: أحدهما للنسبة، والآخر لانتماء (ه) خاصّة إلى فئة (ح) وكلاهما لا يقبلان القياس والتحديد على أساس التعريف المتقدّم.
وإلى هنا كنّا نتكلّم عن الحالة الاولى.
وأمّا في الحالتين الثانية والثالثة فلا معنى للاحتمال الافتراضي؛ لأنّ الاحتمال الافتراضي يعني نسبة الأعضاء المشتركة إلى مجموع أعضاء فئة (ل) وفي هاتين الحالتين لم نفترض نسبة من هذا القبيل، وأمّا الاحتمال الواقعي في هاتين الحالتين فلا يشمله التعريف ولا يمكن تحديده وفقاً له؛ لأنّ التعريف يربط درجة الاحتمال بدرجة التكرار ولم يفترض تكرار في الحالة الثانية والحالة الثالثة. ونخرج من ذلك بالنتائج التالية:
أوّلًا: إنّ التعريف ينطبق على الاحتمال الافتراضي في الحالة الاولى.
ثانياً: إنّ التعريف ينطبق على الاحتمال الواقعي في الحالة الاولى إذا كانت نسبة التكرار معلومة واضيفت إلى بديهيات التعريف بديهية التطابق بين النسبة ودرجة الاحتمال الواقعي.

عدد الأعضاء المشتركة إلى مجموع أعضاء (ل) ودرجة احتمال كون (ه) منتمياً إلى (ح).
فإذا توفّر هذان الشرطان أمكن تطبيق التعريف على الاحتمال الواقعي في الحالة الاولى كما ينطبق على الاحتمال الافتراضي فيها.
ولكن قد يبدو شي‏ء من التناقض في هذا الكلام؛ لأنّنا حين نتحدّث عن الاحتمال الواقعي بشأن (ه) نعني أ نّنا لم نختبر حال (ه) ولم نتأكّد من عضويتها لكلتا الفئتين إيجاباً أو سلباً، فإذا جعلنا الشرط الأوّل في تحديد هذا الاحتمال على أساس التعريف المتقدّم أن نكون على علم بعدد الأعضاء المنتمية إلى (ح) في مجموع أعضاء (ل) بما فيها (ه) كان معنى ذلك أ نّنا قد افترضنا اختبار حال (ه) والتأكّد من انتمائه إلى (ح) إيجاباً أو سلباً، وهذا يؤدّي إلى تناقض فحواه أ نّه لكي تحدّد درجة احتمال انتماء (ه) إلى (ح) يجب أن نتأكّد من أ نّها منتمية أو غير منتمية.
وحلّ هذا التناقض هو أ نّنا في بعض الأحوال نستطيع أن نعرف عدد أعضاء فئة (ل) المنتمين إلى (ح) دون أن نشخّص تلك الأعضاء في أفراد محدّدة، فمعرفة عدد الأعضاء المشتركة لا يجب أن تستبطن معرفة حال (ه) والتأكّد من انتمائه إلى (ح) إيجاباً أو سلباً. ومن تلك الأحوال ما إذا حصلنا على نسبة تكرّر (ح) في (ل) عن طريق الاستقراء، فإنّنا إذا حصلنا بعد ذلك على أيّ عدد كبير من أعضاء (ل) فسوف نعرف على أساس الاستقراء عدد الأعضاء المنتمية منها إلى (ح) دون أن نشخّص حال كلّ عضو بالذات.
بقي علينا أن نفحص فرضاً آخر في الحالة الاولى وهو أن يكون عدد الأعضاء المشتركة بين الفئتين غير معلوم مع العلم بوجود أعضاء مشتركة، كما إذا افترضنا أنّ عدد أعضاء فئة (ل) تسعة وأنّ بعض أعضاء هذه الفئة ينتمي إلى (ح)