من قيمة احتمال تكرّر الحادثة في (و) فقط، وأمّا إذا كان (و) مساوياً للعدد الحاصل من ضرب مجموع المرّات في قيمة احتمال الحادثة مطروحاً منه قيمة احتمال عدمها فسوف تكون قيمة احتمال تكرّر الحادثة في (و+ 1) مساوية لقيمة احتمال تكرار الحادثة في (و) فقط، وإذا كان (و) أكبر من العدد الحاصل من ضرب مجموع المرّات في قيمة احتمال الحادثة مطروحاً منه قيمة احتمال عدمها فسوف تكون قيمة احتمال تكرّر الحادثة في (و+ 1) أصغر من قيمة احتمال تكرّر الحادثة في (و) فقط[1].
[1] ولنفرض من أجل التوضيح أنّ( ن) 15، وأنّ( د ر) 2/ 1، فإذا أعطينا ل( و) قيمة 6 كان الواحد أصغر من و+ 1 ن- و* 1- هه، وبالتالي يكون 6+ 1 أكبر قيمة من 6؛ لأنّ الكسرين المضروب أحدهما بالآخر يتمثّلان في الأرقام كما يلي:
\Y …\E
15- 6 12 9
-*-/-
6+ 1 12 7
وواضح أنّ هذه النسبة أكبر من واحد وهذا يحقّق شرط أنّ قيمة احتمال( و+ 1) أكبر من قيمة احتمال( و) فقط.
وإذا أعطينا ل( و) قيمة 7 كان الواحد مساوياً لناتج ضرب الكسرين، إذ سوف يتمثّل الكسران في الأرقام كما يلي:
15- 7 12 8
-*-/-
7+ 1 12 8
وهذا يعني أنّ قيمة احتمال( و+ 1) تساوي قيمة احتمال( و) فقط.-
أكبر من «ن* د ر- (1- د ر)» لكان الواحد أكبر من ناتج ضرب ذينك الكسرين، فلا بدّ إذن أن يكون (و) أصغر من العدد الحاصل من ضرب مجموع المرّات في قيمة احتمال الحادثة مطروحاً منه قيمة احتمال عدمها، وما دام (و) أصغر من ذلك العدد فسوف يصدق دائماً أنّ قيمة احتمال تكرّر الحادثة في (و+ 1) أكبر
__________________________________________________
-1+ ن ه- 1+ ه- (ه+ ن ه 2- ه+ ه 2) ن ه- ن ه 2+ ه- ه 2/
1+ ن ه- 1+ ه- ه- ن ه 2+ ه- ه 2 ن ه- ن ه 2+ ه- ه 2/
ن ه- ن ه 2+ ه- ه 2 ن ه- ن ه 2+ ه- ه 2/ 1
هذا كلّه لو كان (و) مساوياً ل ن ه- (1- ه).
وأمّا لو كان أصغر من ذلك فسوف يصبح الواحد أصغر من 1+ ون- و* 1- هه
ولو كان أكبر من ذلك فسوف يكون الواحد أكبر من 1+ ون- و* 1- هه والسرّ في ذلك أنّ (و) في المقام موجب وفي البسط سالب فكلّما كبر أوجب تكبير المقام وتصغير البسط فتصغر النتيجة وكلّما صغر أوجب تصغير المقام وتكبير البسط فتكبر النتيجة.
ويمكن إثبات هذه المدّعيات كلّها عن طريق آخر بأن نقول:
متى كان 1+ ون- و* 1- هه مساوياً مع واحد كان (و) مساوياً مع عدد مجموع المرّات مضروباً في قيمة احتمال الحادثة ناقصاً قيمة احتمال عدمها.
والبرهان على ذلك أ نّه إذا كان 1+ ون- و* 1- هه مساوياً لواحد صدقت المعادلة التالية:
(ن- و) ه/ (1+ و)* (1- ه)/
ن ه- و ه/ (1+ و)* (1- ه)/
ن ه- و ه/ 1- ه+ و* (1- ه)/
ن ه- و ه/ 1- ه+ و- و ه
ولكي نعرف قيمة (و) ننقل سائر الرموز في الطرف الثاني من المعادلة ما عدا (و) إلى الطرف الأوّل مع تبديل علامة+ بعلامة- وبالعكس فتصبح المعادلة هكذا:-
و معنى أنّ الواحد أصغر من ذلك أنّ البسط أكبر من المقام أي أنّ (ن- و)* ه أكبر من (1+ و)* (1- ه) وهو عبارة اخرى عن أنّ د ر (و+ 1) أكبر من د ر (و)؛ لأنّ نسبة كلّ من هذين البسطين إلى مقامه واحدة.
وما دمنا نريد أن نحدّد قيم (و) التي يكون معها الواحد الصحيح أصغر من 1+ ون- و* 1- هه لكي تتحقّق العلاقة المطلوبة،[1] فسوف نجد أنّ قيم (و) التي تحقّق هذا الشرط هي دائماً أصغر من «ن* د ر- (1- د ر)»[2]، أي من عدد مجموع المرّات مضروباً في قيمة احتمال الحادثة ناقصاً قيمة احتمال عدمها[3]؛ لأنّ (و) لو ساواه لما كان الواحد أصغر من 1+ ون- و* 1- هه بل لساواه[4]، كما أنّ (و) لو كان-
[1] وهي أنّ د ر( و+ 1) أكبر من د ر( و) أي أنّ قيمة احتمال الحادثة في( و) من المرّات زائداً مرّة واحدة أكبر من قيمة احتمال تكرّرها في( و) من المرّات فقط.( المؤلّف قدس سره)
[2] وهذا ما سيطلق عليه اسم( الحدّ)( لجنة التحقيق).
[3] فإذا فرضنا أنّ مجموع المرّات 15 وقيمة احتمال الحادثة 2/ 1 فإنّ( و) سوف يكون أقلّ دائماً من 15* 2/ 1-( 2/ 1) أي أ نّه أقلّ دائماً من سبعة.( المؤلّف قدس سره)
[4] يمكن البرهنة رياضياً على ذلك بتبديل( و) في البسط والمقام بما يفرض مساواته معه وهو ن ه-( 1- ه) فيرى أنّ البسط والمقام يتساويان وبيانه وفق المعادلات كما يلي:
\Y …\E
1+( ن ه-( 1- ه)) ن-( ن ه-( 1- ه))* 1- هه الذي هو عبارة اخرى عن 1+ ون- و* 1- هه حسب الفرض يساوي:
1+( ن ه- 1+ ه) ن-( ن ه- 1+ ه)* 1- هه/ 1+ ن ه- 1+ هن- ن ه+ 1- ه* 1- هه/-
فكلّما كانت النسبة الاولى أكبر من واحد أو مساوية لواحد أو أصغر من واحد كان حاصل ضرب الكسرين الأخيرين كذلك أيضاً وفقاً للكسر الأوّل، فإذا أردنا أن نعرف أنّ النسبة في الكسر الأوّل أكبر من واحد أو تساويه أو أصغر يمكننا الوصول إلى ذلك عن طريق الجواب على السؤال التالي:
هل أنّ 1 أكبر أو يساوي أو أصغر من و+ 1 ن- و* 1- هه
[الخطوة الثانية:] وإذا ما أردنا مثلًا أن نحدّد قيمة (و) التي يتحقّق عندها العلاقة التالية:
«د ر (و+ 1) أكبر من د ر (و)» فلا بدّ أن نحدّد قيم (و) التي يكون معها الواحد الصحيح أصغر من 1+ ون- و* 1- هه (و+ 1)! (ن- و- 1)! ن! ن! و! (ن- و)!/
__________________________________________________
– (و+ 1)! (ن- و- 1)! و! (ن- و)!/
(و+ 1) و! (ن- و- 1)! و! (ن- و) (ن- و- 1)!/ و+ 1 ن- و وهذا نسمّيه بالناتج الأوّل.
وثانياً نختصر الكسر الثاني بعد معرفة أنّ د ر/ ه فنقول:
درو* (1- د ر) ن- ود رو+ 1* (1- د ر) ن- و- 1/ هو* (1- ه) ن- وهو+ 1* (1- ه) ن- و- 1/
هو* (1- ه)* (1- ه) ن- و- 1 ه* هو* (1- ه) ن- و- 1/ 1- هه وهذا نسمّيه بالناتج الثاني.
ثمّ نضرب الناتج الأوّل في الناتج الثاني فيصبح هكذا: و+ 1 ن- و* 1- هه (الحائري)
وبحلّ هذه المعادلة يتبيّن أنّ أ يّهما أكبر، البسط أو المقام في ذلك الكسر المشار إليه، أي د ر (و) د ر (و+ 1)، فإنّ النسبة التي تحدّد قيمة هذا الكسر قد تساوي واحداً صحيحاً أو تكون أكبر منه أو أصغر، ففي الحالة الاولى يكون البسط والمقام متساويين، وفي الحالة الثانية يكون البسط أكبر، وفي الحالة الثالثة يكون المقام أكبر.
والنسبة التي تحدّد قيمة ذلك الكسر تطابق حاصل ضرب كسرين كما يلي:
د ر (و) د ر (و+ 1)/ 1+ ون- و* 1- هه[1]
______________________________
– (و+ 1)! (ن- و- 1)! ن!* د رو+ 1* (1- د ر) ن- و- 1
–
و! (ن- و)! ن!* د رو* (1- د ر) ن- و
ثمّ نقلب ما في ذلك من الكسر المركّب إلى الكسر البسيط بقلب الكسر المقسوم عليه وضربه في المقسوم فيصبح هكذا:
(و+ 1)! (ن- و- 1)! ن!* د رو* (1- د ر) ن- ون! و! (ن- و)!* د رو+ 1* (1- د ر) ن- و- 1 (الحائري)
[1] هذا اختصار لما انتهينا إليه من( و+ 1)!( ن- و- 1)! ن!* د رو*( 1- د ر) ن- ون! و!( ن- و)!* د رو+ 1*( 1- د ر) ن- و- 1
ولأجل التسهيل نجزّئ ذلك إلى كسرين أحدهما مضروب في الآخر هكذا:
( و+ 1)!( ن- و- 1)! ن! ن! و!( ن- و)!* د رو*( 1- د ر) ن- ود رو+ 1*( 1- د ر) ن- و- 1
فأوّلًا نختصر الكسر الأوّل فنقول:-
د ر (و+ 1) ن! و! (ن- و)!* د ر و+ 1* (1- د ر) ن- و- 1
-/-[1]
د ر (و) (و+ 1)! (ن- و- 1)! ن! د ر و* (1- د ر) ن- و
–
[1] يتّضح ذلك بالبيان التالي:
إذا أردنا أن نطبّق على ذلك الرموز السابقة قلنا:
أوّلًا:( م) بالقياس إلى البسط/( و+ 1)
ثانياً:( 12)/( د ر)
ثالثاً:( 1- 12)/( 1- د ر)
إذن م!( ن- م)! ن!* 12 م*( 1- 12) ن- م وهو الحساب الذي انتهينا إليه في ما سبق/( و+ 1)!( ن-( و+ 1))! ن!* د رو+ 1*( 1- د ر) ن-( و+ 1)/
( و+ 1)!( ن- و- 1)! ن!* د رو+ 1*( 1- د ر) ن- و- 1 ونسمّي ذلك بالناتج الأوّل.
رابعاً:( م) بالقياس إلى المقام/( و)
إذن م!( ن- م)! ن!* 12 م*( 1- 12) ن- م/
و!( ن- و)! ن!* د رو*( 1- د ر) ن- و ونسمّي ذلك بالناتج الثاني
ثمّ نقسم الناتج الأوّل على الناتج الثاني فيصبح هكذا:-
عدد المرّات الأكبر احتمالًا لوقوع تلك الحادثة في (ن) من المرّات، أي أنّ أيّ عدد من (ر) تكون قيمة احتماله أكبر ما يمكن. ولنفرض في هذه الحالة أنّ قيمة احتمال وقوع الحادثة (ر) في مرّة معيّنة معلومة، ولنرمز إليها ب (ه)، كما أنّ عدد المرّات الكلّي الذي نرمز إليه ب (ن) معلوم أيضاً.
إنّ معادلات برنولي هي التي تتكفّل بإيجاد حلّ لهذه المسألة. ولنرمز إلى عدد معيّن من الأعداد التي تشتمل عليها نون ب (و) من قبيل 7 في 15 مثلًا: وإلى قيمة احتمال حادثة معيّنة ب (د ر).
[الخطوة الاولى:] وبصدد الحلّ تحسب أوّلًا قيمة الكسر الآتي:
د ر (و) د ر (و+ 1)
وفيما سبق قد عرفنا طريقة تحديد قيمة احتمال أن تتكرّر الحادثة (و) مرّة، أو (و+ 1) مرّة، فإذا طبّقنا ذلك استخلصنا ما يلي:
د ر (و+ 1)/
د ر (و)
عدد الصور الممكنة ل (و) في (ن)* قيمة احتمال صورة مشخّصة من تلك الصور
عدد الصور الممكنة ل (و+ 1) في (ن)* قيمة احتمال صورة مشخّصة من تلك الصور
وبلغة الرموز المتّفق عليها نستخلص ما يلي:
__________________________________________________
– فالعدد الذي يتمتّع بأكبر قيمةٍ احتماليّة إمّا هو عددان متساويان في القيمة الاحتماليّة، وهما ما يساوي (الحدّ) وما يزيد عليه بواحد، ويتمّ ذلك فيما إذا كان كلّ من (الحدّ) وما يزيد عليه بواحد عدداً صحيحاً، وإمّا هو عددٌ صحيح واقع بين (الحدّ) وما يزيد عليه بواحد، ويتمّ ذلك فيما إذا كان كلّ من (الحدّ) وما يزيد عليه بواحد عدداً كسريّاً (لجنة التحقيق)
