على أساس الاستقراء فنثبت استقرائياً أنّ 2/ 1 من مجموع أعضاء تلك الفئة يعتبر صادقاً، وهذا يعني وجود احتمال بدرجة 2/ 1 في صالح البيّنة الدالّة على وجود زرادشت.

ويستخلص رسل من ذلك أنّ كلّ الاحتمالات القابلة للقياس يمكن تفسيرها على أساس هذا التعريف، أي بوصفها تكرارات متناهية على أن نفترض التسليم بمبدأ الاستقراء، وهكذا يصبح احتمال أنّ زرادشت كان موجوداً مندرجاً في نطاق التعريف رغم أ نّه يبدو بعيداً عن فكرة التكرار[1].

ويقصد رسل بالتكرار الذي يطبّق عليه التعريف في مثال زرادشت تكرار الصدق في أعضاء تلك الفئة من البيّنات، فإنّ هذا التكرار يسجّل نسبة ثمّ تعمّم هذه النسبة عن طريق الاستقراء على مجموع أعضاء تلك الفئة، فتتحدّد بذلك درجة احتمال صدق البيّنة الدالّة على وجود زرادشت وبالتالي تتحدّد درجة احتمال أنّ زرادشت كان موجوداً.

ونلاحظ على هذا البيان ما يلي:

أوّلًا: إنّ احتمال وجود زرادشت احتمال واقعي ولا يمكن أن تتحدّد درجته على أساس التكرار ومبدأ الاستقراء فقط؛ لأنّ التكرار ومبدأ الاستقراء يؤدّيان إلى تحديد نسبة معيّنة للصدق في مجموع أعضاء تلك الفئة من البيّنات، وهذا هو ما أطلقنا عليه سابقاً اسم الاحتمال الافتراضي، ولا يكفي هذا وحده لاستنتاج درجة احتمال صدق البيّنة الدالّة على وجود زرادشت ما لم نضف إلى التكرار ومبدأ الاستقراء البديهية التي أشرنا إليها سابقاً والتي تقرّر أنّ درجة الاحتمال الواقعي للحادثة في عضو معيّن من فئة يجب أن تطابق نسبة تكرار

[1] المعرفة الإنسانية لبرتراند رسل: 378- 379

ثالثاً: إنّ التعريف لا ينطبق في الحالة الاولى إذا افترضنا الجهل بنسبة التكرار وتردّدها بين نسبتين، ففي هذا الفرض نواجه احتمالين واقعيين: احتمالًا للنسبة واحتمالًا لانتماء (ه) خاصّة، وكلاهما لا يمكن تحديدهما على أساس ذلك التعريف.
رابعاً: إنّ التعريف لا ينطبق في الحالة الثانية والثالثة؛ لأنّ الاحتمال الافتراضي غير متصوّر في هاتين الحالتين، والاحتمال الواقعي لا يتحدّد وفقاً لنسبة التكرار إذ لم تفترض نسبة من هذا القبيل.
وفي ضوء هذه النتائج نستخلص أنّ تعريف الاحتمال على أساس التكرار ما دام لا يشمل عدداً من أنواع الاحتمال فهو ناقص إذا أمكن فيما بعد أن نثبت أنّ تلك الاحتمالات التي يعجز هذا التعريف عن شمولها تعبّر عن علاقات بالإمكان تحديدها رياضياً على أساس البديهيات المقترحة.

محاولة لإثبات الشمول في التعريف:

وهناك محاولة لبرتراند رسل يريد بها أن يثبت شمول التعريف حتّى لاحتمالات من نوع «يحتمل أنّ زرادشت كان موجوداً»، وهو يؤكّد بهذا الصدد أنّ تعريف الاحتمال على أساس التكرار يكفي لتفسير كلّ هذه الاحتمالات على شرط أن نسلم مسبقاً بمبدأ الاستقراء- أي المبدأ الذي يبرّر تعميم الحكم على الأفراد غير المستقرأة-، ويوضح ذلك في مثال زرادشت بالبيان التالي:
إنّ هناك بيّنة قامت على وجود زرادشت هي التي أدّت إلى احتمال أ نّه موجود، وهذه البيّنة عضو في فئة البيّنات التي من نوعها. ونفرض أ نّنا اختبرنا واستقرأنا عدداً كبيراً من أعضاء تلك الفئة من البيّنات فوجدنا أنّ نسبة معيّنة منها صادقة، ولنفرضها 2/ 1، فسوف نعمّم هذه النسبة على مجموع أعضاء تلك الفئة

لكن لا ندري هل أنّ الأفراد المنتمية إلى (ح) من أعضاء فئة (ل) ثلاثة أو ستّة.
إنّ في هذا الفرض يوجد احتمال افتراضي بمعنى أنّ أيّ فرد من أعضاء فئة (ل) يحتمل أن يكون عضواً في فئة (ح)، ويوجد احتمال واقعي بمعنى أنّ (ه)- وهي ترمز إلى عضو معيّن- من المحتمل أن يكون عضواً في فئة (ح). وكلّ من الاحتمالين لا يمكن أن نطبّق عليه التعريف المتقدّم ولا أن نحدّد درجته وفقاً لذلك التعريف؛ لأنّ نسبة الأعضاء المشتركة إلى مجموع أعضاء فئة (ل) مجهولة، فالاحتمال الافتراضي هنا يجب أن يتحدّث عن نسبة احتمالية مشكوكة بين الأعضاء المشتركة ومجموع أعضاء فئة (ل) بدلًا عن الحديث عن نسبة يقينية، وهذا يعني أنّ الاحتمال الافتراضي يتحوّل إلى احتمال واقعي للنسبة، فهناك إذن احتمالان واقعيان: أحدهما للنسبة، والآخر لانتماء (ه) خاصّة إلى فئة (ح) وكلاهما لا يقبلان القياس والتحديد على أساس التعريف المتقدّم.
وإلى هنا كنّا نتكلّم عن الحالة الاولى.
وأمّا في الحالتين الثانية والثالثة فلا معنى للاحتمال الافتراضي؛ لأنّ الاحتمال الافتراضي يعني نسبة الأعضاء المشتركة إلى مجموع أعضاء فئة (ل) وفي هاتين الحالتين لم نفترض نسبة من هذا القبيل، وأمّا الاحتمال الواقعي في هاتين الحالتين فلا يشمله التعريف ولا يمكن تحديده وفقاً له؛ لأنّ التعريف يربط درجة الاحتمال بدرجة التكرار ولم يفترض تكرار في الحالة الثانية والحالة الثالثة. ونخرج من ذلك بالنتائج التالية:
أوّلًا: إنّ التعريف ينطبق على الاحتمال الافتراضي في الحالة الاولى.
ثانياً: إنّ التعريف ينطبق على الاحتمال الواقعي في الحالة الاولى إذا كانت نسبة التكرار معلومة واضيفت إلى بديهيات التعريف بديهية التطابق بين النسبة ودرجة الاحتمال الواقعي.

عدد الأعضاء المشتركة إلى مجموع أعضاء (ل) ودرجة احتمال كون (ه) منتمياً إلى (ح).
فإذا توفّر هذان الشرطان أمكن تطبيق التعريف على الاحتمال الواقعي في الحالة الاولى كما ينطبق على الاحتمال الافتراضي فيها.
ولكن قد يبدو شي‏ء من التناقض في هذا الكلام؛ لأنّنا حين نتحدّث عن الاحتمال الواقعي بشأن (ه) نعني أ نّنا لم نختبر حال (ه) ولم نتأكّد من عضويتها لكلتا الفئتين إيجاباً أو سلباً، فإذا جعلنا الشرط الأوّل في تحديد هذا الاحتمال على أساس التعريف المتقدّم أن نكون على علم بعدد الأعضاء المنتمية إلى (ح) في مجموع أعضاء (ل) بما فيها (ه) كان معنى ذلك أ نّنا قد افترضنا اختبار حال (ه) والتأكّد من انتمائه إلى (ح) إيجاباً أو سلباً، وهذا يؤدّي إلى تناقض فحواه أ نّه لكي تحدّد درجة احتمال انتماء (ه) إلى (ح) يجب أن نتأكّد من أ نّها منتمية أو غير منتمية.
وحلّ هذا التناقض هو أ نّنا في بعض الأحوال نستطيع أن نعرف عدد أعضاء فئة (ل) المنتمين إلى (ح) دون أن نشخّص تلك الأعضاء في أفراد محدّدة، فمعرفة عدد الأعضاء المشتركة لا يجب أن تستبطن معرفة حال (ه) والتأكّد من انتمائه إلى (ح) إيجاباً أو سلباً. ومن تلك الأحوال ما إذا حصلنا على نسبة تكرّر (ح) في (ل) عن طريق الاستقراء، فإنّنا إذا حصلنا بعد ذلك على أيّ عدد كبير من أعضاء (ل) فسوف نعرف على أساس الاستقراء عدد الأعضاء المنتمية منها إلى (ح) دون أن نشخّص حال كلّ عضو بالذات.
بقي علينا أن نفحص فرضاً آخر في الحالة الاولى وهو أن يكون عدد الأعضاء المشتركة بين الفئتين غير معلوم مع العلم بوجود أعضاء مشتركة، كما إذا افترضنا أنّ عدد أعضاء فئة (ل) تسعة وأنّ بعض أعضاء هذه الفئة ينتمي إلى (ح)

أيّ معلومات إيجاباً أو سلباً عن وجود أعضاء مشتركة بينهما، فيكون انتماء عضو فئة (ل) إلى (ح) محتملًا.
الثالثة: أن ينقل إلينا أنّ زرادشت إنسان كان يحمل هذا الاسم ويدّعي النبوّة ويدعو إلى الإباحية عاش في زمان كذا ومكان كذا، فينشأ على هذا الأساس احتمال أنّ زرادشت كان موجوداً، ويعني هذا الاحتمال أنّ هناك فئة هي فئة مدّعي النبوّة الداعين إلى الإباحية الناشئين في مكان كذا وزمان كذا الذين اطلق عليهم اسم زرادشت، وهذه الفئة نحتمل أ نّها فارغة كما نحتمل أنّ فيها عضواً واحداً، أي أنّ زرادشت موجود.
ففي الحالة الاولى نتصوّر نوعين من الاحتمال:
أحدهما الاحتمال الافتراضي الذي نعبّر عنه في قولنا بأنّ من المحتمل أن يكون فرد ما من فئة (ل) عضواً في (ح) أيضاً، وهذا الاحتمال يمكن أن يحدّد على أساس تعريف الاحتمال المتقدّم إذا كنّا نعرف عدد الأعضاء المشتركة، فإنّ درجته بموجب هذا التعريف هي نسبة عدد الأعضاء المشتركة إلى مجموع أعضاء فئة (ل).
والنوع الآخر من الاحتمال الذي نواجهه في الحالة الاولى هو الاحتمال الواقعي، أي احتمال أن يكون هذا العضو بالذات من أعضاء فئة (ل) منتمياً إلى (ح)، ولنرمز إلى العضو المعيّن ب (ه)، وهذا الاحتمال يتوقّف تحديده على أساس تعريف الاحتمال المتقدّم على شرطين:
الأوّل: أن يكون عدد أعضاء (ل) المنتمين إلى (ح) في مجموع أعضاء (ل) بما فيهم (ه) معلوماً، فإذا افترضنا أنّ مجموع أعضاء (ل) عشرة وأنّ أحدهم هو (ه) فلا بدّ أن نعرف عدد الأعضاء المنتمين من هؤلاء العشرة إلى الفئة (ح).
الثاني: أن نفترض في أساس التعريف البديهية القائلة بالتطابق بين نسبة

معيّنة بين الشرط والجزاء، وهي قضيّة يقينية كالقضيّة التي يتحدّث عنها الاحتمال الافتراضي، وبإمكان الذات الكلية العلم أن تتحدّث عنها كما نتحدّث عنها تماماً.
وما دامت القضيّتان على نهج واحد فلكلّ منهما الحقّ في تمثيل الاحتمال الرياضي، ولا بدّ لتعريف الاحتمال أن يشملهما معاً، وكلّ تعريف للاحتمال لا يشمل الاحتمال الواقعي بالقدر الذي يتّصل منه بالقضيّة الشرطيّة التي ذكرناها يعتبر تعريفاً ناقصاً، فكما أنّ نسبة تكرار الذكاء في العراقيين- ولنفرضها 2/ 1- تعتبر احتمالًا رياضياً كذلك العلاقة بين درجة علمنا وجهلنا بظروف هذا العراقي بالذات وبين احتمال ذكائه بدرجة 2/ 1، فإنّ هذه العلاقة كتلك النسبة ليس فيها أيّ شكّ، وبإمكان القضيّة الرياضية أن تؤكّدها تأكيداً يقينياً.
غير أ نّي لا بدّ لي أن اشير هنا إلى أنّ هذه العلاقة لا يمكن استنتاجها من المبادئ المتقدّمة لنظرية الاحتمال فحسب؛ لأنّ المبادئ المتقدّمة بإمكانها أن تحدّد نسبة تكرار الذكاء في العراقيين، ولكن ليس بإمكانها أن تقرّر أ نّه في حالة اطّلاعنا على أنّ هذا الفرد المعيّن عراقي وعدم اطّلاعنا على أيّ شي‏ء آخر لا بدّ أن تكون درجة الاحتمال مطابقة لتلك النسبة، فلا بدّ لاستنتاج هذا التطابق من بديهية اخرى- كما سوف نعرف فيما بعد إن شاء اللَّه تعالى-. ولنفرض الآن التطابق بينهما إلى أن يأتي الحديث عن تلك البديهية.

هل يشمل التعريف كلّ الاحتمالات:

توجد حالات عديدة ينشأ فيها الاحتمال:
الاولى: أن توجد فئتان (ل، ح) وبينهما أعضاء مشتركة، فيكون انتماء عضو فئة (ل) إلى (ح) محتملًا.
الثانية: أن توجد فئتان (ل) و (ح) لكلّ منهما أفراد فعلًا، ولا تتوفّر لدينا

الواقعي، وعلى اليقين المتّخذ صورة الشكّ الذي تتحدّث عنه العبارة الثانية اسم الاحتمال الافتراضي. وعلى هذا الأساس قد ينشأ التصوّر التالي: وهو أنّ الاحتمال الرياضي الذي يستهدف التعريف تفسيره إنّما هو الاحتمال الافتراضي دون الاحتمال الواقعي؛ لأنّ الاحتمال الرياضي بوصفه قضيّة مستخلصة من المبادئ الرياضية لا بدّ أن يكون قضيّة يقينية تكفي تلك المبادئ لاستنتاجها، والاحتمال الواقعي ليس كذلك، فإنّه قضيّة احتمالية مشكوكة ترتبط بدرجة جهلنا بالظروف ذات الصلة، فنحن حينما نشير إلى عراقي معيّن ونقول: من المحتمل بدرجة 2/ 1 أن يكون هذا ذكياً، نتحدّث عن قضيّة مشكوكة، ولا يتولّد شكّنا هذا من المبادئ الرياضية، بل من طبيعة جهلنا بالظروف ذات الصلة بالذكاء سلباً وإيجاباً. وأمّا الاحتمال الافتراضي فهو قضيّة يقينية مستنتجة من المبادئ الرياضية وبديهيات نظرية الاحتمال استنتاجاً، ولا ترتبط هذه القضيّة بأيّ درجة من الجهل، ولهذا يمكن للَّه‏سبحانه مثلًا أن يقرّرها كما نقرّرها. فالاحتمال الرياضي إذن هو الاحتمال الافتراضي لا الواقعي، والتعريف يستهدف تفسير الاحتمال الافتراضي لا الاحتمال الواقعي.
ولكنّي أرى أنّ الاحتمال الواقعي يشتمل دائماً على قضيّتين، فنحن حينما نشير إلى فرد عراقي معيّن ونقول: من المحتمل بدرجة 2/ 1 أن يكون ذكيّاً، نقرّر في الواقع قضيّتين لا قضيّة واحدة. الاولى: إنّ ذكاء هذا الفرد محتمل فعلًا بدرجة 2/ 1. والثانية: أ نّه كلّما كانت درجة العلم والجهل بالظروف ذات الصلة بذكاء الإنسان العراقي سلباً وإيجاباً هي درجة علمنا وجهلنا بالظروف ذات الصلة بذكاء هذا الفرد المعيّن كانت درجة احتمال ذكائه 2/ 1. والقضيّة الاولى تقريرية تنبئ عن شي‏ء في الواقع الخارجي وهو ذكاء هذا الفرد ولكن على سبيل الاحتمال، والقضيّة الثانية شرطيّة لا تنبئ عن ذكاء الفرد، وإنّما تتحدّث عن علاقة

ولكن هذا التعريف يواجه اعتراضاً جديداً وهو أ نّه لا يشمل كلّ المجالات التي يمكن للاحتمال الرياضي أن يمتدّ إليها، بمعنى أنّ هناك مجالات يمكن فيها تحديد الاحتمال رياضياً ولا يشملها التعريف، فيعتبر من هذه الناحية ناقصاً.
وسوف نبدأ بتمهيدات توضيحية أوّلًا ثمّ نتحدّث عن هذا الاعتراض.

الاحتمال الواقعي والاحتمال الافتراضي:

يمكن التمييز بسهولة بين العبارتين التاليتين:
عبارة نقولها حينما نأخذ عراقياً معيّناً ولا ندري هل هو ذكي أو لا فنقول:
من المحتمل بدرجة كذا أن يكون ذكيّاً.
وعبارة نقولها حينما نفترض عراقياً فنقول: إذا كان الإنسان عراقياً فمن المحتمل بدرجة كذا أن يكون ذكياً.
فالعبارة الاولى تتحدّث عن احتمال واقعي وشكّ حقيقي، وبالإمكان إزالة هذا الاحتمال وتبديله إلى اليقين إذا استطعنا أن نجمع معلومات تفصيلية كافية عن ذلك الفرد العراقي بالدرجة التي تتيح لنا أن نجزم بأ نّه ذكي أو ليس ذكيّاً، والعبارة الثانية تتحدّث عن احتمال افتراضي، أي عن يقين في صورة شكّ؛ لأنّ الإنسان العراقي الذي تنبئ هذه العبارة عن درجة احتمال كونه ذكياً ليس هو هذا الفرد أو ذاك، بل فرد افتراضي ليس له واقع محدّد، فلا معنى للشكّ الحقيقي في أ نّه ذكي أو لا، وإنّما تتحدّث العبارة الثانية في الحقيقة عن نسبة الذكاء في العراقيين، أي عن يقين لا عن شكّ، ولهذا كان بالإمكان أن تصدر عبارة من هذا القبيل من ذات لا يعزب عن علمها مثقال ذرّة في الأرض ولا في السماء، بينما لا يمكن أن تصدر العبارة الاولى من هذه بالذات.
ونطلق على الشكّ الحقيقي الذي تتحدّث عنه العبارة الاولى اسم الاحتمال‏

المرافقة للمطلوب إلى مجموع الحالات الممكنة أصبح تعبيراً عن نسبة الأفراد الواقعة المحقّقة للمطلوب من أعضاء فئة (ل) إلى مجموع الأفراد الواقعة من أعضاء فئة (ل).
وأنا أرى أنّ هذا التعريف يفي ببديهيات الاحتمال المتقدّمة، كما أ نّه يتخلّص من الاعتراضات التي أثرناها ضدّ التعريف السابق، وذلك لأنّ التعريف السابق يتحدّث عن الحالات الممكنة بالنسبة إلى (س)، ويحدّد درجة احتمال المطلوب بنسبة الحالات المرافقة للمطلوب إلى مجموع الحالات الممكنة، وهذا يتطلّب منه أن يفترض مسبقاً التساوي بين تلك الحالات الممكنة في علاقتها ب (س)؛ لأنّها إذا لم تكن متساوية بالنسبة إلى (س)، بل كانت الحالات المرافقة للمطلوب مثلًا أكبر قيمة من الحالات الاخرى فسوف تكون درجة احتمال المطلوب أكبر من نسبة عدد الحالات المرافقة للمطلوب إلى مجموع الحالات، فلا بدّ للتعريف السابق إذن أن يفترض مسبقاً التساوي بين الحالات الممكنة في علاقاتها بالنسبة إلى (س)، وهذا يفرض على ذلك التعريف أن يفسّر هذا التساوي المفترض، وقد رأينا أ نّه يعجز عن تفسيره بطريقة لا تؤدّي إلى نقص في التعريف.
وأمّا هذا التعريف فهو لا يتحدّث عن الحالات الممكنة بالنسبة إلى (س)، والتي قد تكون متساوية بالنسبة إلى (س) وقد لا تكون كذلك، ليضطرّ إلى افتراض تساويها مسبقاً، ولكي يؤدّي به ذلك إلى مواجهة الاعتراض الذي واجهه التعريف السابق، وإنّما يتحدّث هذا التعريف عن الأفراد الذين هم أعضاء في فئة (ل) فعلًا، ويفسّر احتمال أن يكون أيّ واحد نختاره من تلك الأفراد عضواً في فئة (ح) بنسبة تكرّر (ح) في (ل)، فهو لا يضطرّ إلى افتراض التساوي المسبق في القيمة الاحتمالية ليمنى بالاعتراض نفسه‏.