والبديهية الثانية تقول: إنّ القيم الممكنة ل ح‏ل هي الأعداد الحقيقية من صفر إلى واحد، وهذا يصدق أيضاً؛ لأنّ الشي‏ء قد لا يحتلّ أيّ مركز في مجموعة أطراف العلم وحينئذٍ تكون قيمة ح‏ل صفراً، وقد يحتلّ كلّ المراكز في تلك المجموعة وحينئذٍ تكون قيمة ح‏ل/ واحداً، وقد يحتلّ بعضها فتكون قيمة ح‏ل كسراً يتراوح بين الصفر والواحد.
والبديهية الثالثة تقول: إذا كانت (ح) تستلزم (ل) كان ح‏ل/ 1.
والبديهية الرابعة تقول:: إذا كانت (ح) تستلزم (لا ل) كانت ح‏ل/ صفراً.
وكلتا هاتين البديهتين صادقتان؛ لأنّ أعضاء مجموعة أطراف العلم إذا كانت كلّها تستبطن ذلك الشي‏ء الذي نريد تحديد احتماله فسوف تكون مراكزه في المجموعة بعدد أعضاء المجموعة، وهذا يعني أنّ ح‏ل/ 1، وإذا كانت كلّها تستبطن عدمه فمراكزه في المجموعة سوف تكون صفراً أي أنّ ح‏ل/ 0.
والبديهية الخامسة هي بديهية الاتصال التي تقول: إنّ احتمال كلّ من (ل) و (ك) في وقت واحد بالنسبة إلى (ح) هو احتمال (ل) بالنسبة إلى (ح) مضروباً باحتمال (ك) بالنسبة إلى (ل) و (ح)، إنّ هذه البديهية تحدّد قيمة الاحتمال الناتج من ضرب احتمالين أحدهما بالآخر، وهذا التحديد يتّفق تماماً مع التعريف الذي ندرسه للاحتمال، بل إنّه مستنتج منه وليس من المصادرات المفترضة للاحتمال، ويتّضح ذلك في المثال التالي: إذا افترضنا طالباً في المنطق والرياضيات فهناك احتمال أن يكون متفوّقاً في المنطق، وهناك احتمال أن يكون متفوّقاً في الرياضيات، ويوجد احتمال ناتج من الضرب بين الاحتمالين السابقين وهو احتمال أن يكون متفوّقاً فيهما معاً. إنّنا في هذا المثال نواجه ثلاثة احتمالات‏

الحالتين المعنى المطابق لمعنى الاحتمال الذي يرمز إليه في تلك الحالة. وسوف نتكلّم عن هذا التعريف بكلتا صيغتيه في خمس نقاط:
الاولى: وفاء التعريف بالبديهيات المفترضة لنظرية الاحتمال.
الثانية: تذليل الصعوبات التي يمكن أن يواجهها التعريف.
الثالثة: انسجام هذا التعريف مع الجانب الحسابي من نظرية الاحتمال، أي مع قواعد حساب الاحتمال والعمليات الحسابية التي استعرضناها فيما سبق.
الرابعة: استيعاب هذا التعريف لتلك الاحتمالات التي لم يستطع تعريف الاحتمال على أساس التكرار أن يستوعبها.
الخامسة: قائمة البديهيات الإضافية لهذا التعريف.

[1-] وفاء التعريف بالبديهيات:

نريد أن نعرف في هذه النقطة أنّ هذا التعريف هل يفي بالبديهيات؟ بمعنى أنّ الاحتمال على أساس هذا التعريف هل تصدق عليه تلك البديهيات أو لا؟
ولنأخذ أوّلًا ح‏ل بالمعنى الثاني أو بالصيغة الثانية للتعريف ونطبّق عليه البديهيات، ثمّ نأخذه بالمعنى الأوّل وندرس مدى انطباق تلك البديهيات عليه.
إذا أخذنا ح‏ل بمعنى نسبة المراكز التي يحتلّها الشي‏ء في مجموعة أطراف العلم فسوف نرى أنّ البديهيات كلّها صادقة.
فالبديهية الاولى تقول: هناك قيمة واحدة ل ح‏ل وهذا صادق؛ لأنّ نسبة المراكز التي يحتلّها الشي‏ء إلى كلّ المراكز التي تشتمل عليها مجموعة أطراف العلم الإجمالي لا بدّ لها من قيمة واحدة.

نفس الوقت تكون هذه النسبة محدّدة لدرجة الاحتمال. ففي مثال العلم الإجمالي بزيارة واحد فقط من الأصدقاء الثلاثة إذا أردنا أن نحدّد درجة احتمال أن يزورنا (أ) من الأصدقاء نلاحظ أنّ عدد المراكز التي يحتلّها (أ) في مجموعة الأطراف هو واحد فقط وعدد المراكز في مجموعة الأطراف كلّها ثلاثة، إذن ف ح‏ل/ 3/ 1 وهو نفسه درجة احتمال أن يزورنا الصديق (أ).
وهكذا يتّضح أنّ الكسر ح‏ل يمكن أن نريد به قسمة العلم على أعضاء مجموعة الأطراف، فيكون الكسر عندئذٍ رمزاً لنفس الاحتمال بوصفه- بمعنى من المعاني- جزءاً من العلم ولا يكون رمزاً لنسبة بسطه في مقامه، ويمكن أن نريد بالكسر المذكور قسمة عدد المراكز التي يحتلّها الشي‏ء داخل مجموعة أطراف العلم الإجمالي على عدد أعضاء المجموعة كلّها، فيكون رمزاً لنسبة بسطه في مقامه ويحدّد في نفس الوقت درجة احتمال ذلك الشي‏ء بالنسبة إلى العلم الإجمالي الذي تتمثّل فيه تلك المجموعة.
وإذا كانت المسألة بالنسبة إلى تفسير الكسر مسألة اختيار فالأمر نفسه يمكن أن نقوله عن الاحتمال الرياضي، فكما يمكن وضع تفسيرين للكسر كذلك يمكن وضع تفسيرين للاحتمال الرياضي:
1- ما قلناه من أنّ الاحتمال الرياضي هو الاحتمال الذي يكون عضواً في مجموعة الاحتمالات التي تتمثّل في علم إجمالي، ويتحدّد وفقاً لناتج قسمة رقم العلم على أعضاء مجموعة أطراف العلم الإجمالي.
2- أنّ الاحتمال الرياضي لشي‏ء هو نسبة ما يحتلّه من مراكز في داخل مجموعة أطراف العلم الإجمالي إلى عدد أعضاء هذه المجموعة.
ونرمز إلى كلّ من المعنيين للاحتمال ب ح‏ل ولكن نعطي للكسر في كلّ من‏

فالاحتمال في هذا التعريف ليس علاقة ونسبة موضوعيّة بين حادثتين، وليس مجرّد تكرار وجود إحدى الفئتين في أعضاء الفئة الاخرى، بل هو تصديق بدرجة معيّنة ناقصة من درجات الاحتمال.
وهذا التصديق يعتبر احتمالًا رياضياً، بمعنى أ نّه مستنبط استنباطاً رياضياً ومنطقياً من البديهيات المفترضة لنظرية الاحتمال، كما سنرى فيما بعد إن شاء اللَّه تعالى.
والواقع أنّ المسألة بقدر ما يخصّ الكسر ح‏ل وتفسيره مسألة اختيار، فإنّ هذا الكسر يمكن أن نجعله رمزاً للاحتمال نفسه بدرجته الخاصّة من درجات التصديق المتفاوتة كما افترضنا آنفاً، وذلك بأن نفسّر اللام برقم العلم والحاء بعدد أعضاء مجموعة الأطراف، فإنّ الكسر عندئذ يمثّل الاحتمال بدرجته الخاصّة؛ لأ نّه حاصل قسمة رقم العلم على عدد الأطراف، فهو يعبّر عن جزء من العلم، والاحتمال بمعنى من المعاني جزء من العلم، وليس الكسر بهذا المعنى رمزاً لنسبة وجود بسطه في مقامه؛ لأنّ البسط هو رقم اليقين والمقام هو عدد أعضاء مجموعة الأطراف، ولا معنى لنسبة وجود اليقين في أعضاء مجموعة الأطراف؛ لأنّ اليقين ليس منتمياً إلى هذه المجموعة ليكون موجوداً في هذه المجموعة بنسبة النصف أو الربع مثلًا.
كما يمكن أن نجعل الكسر ح‏ل رمزاً لنسبة وجود بسطه في مقامه، بأن نتصوّر أنّ مجموعة الأطراف تشتمل على مراكز يحتلّ كلّ عضو من أعضائها مركزاً من تلك المراكز، ونجعل (ح) دالّاً على مجموعة أطراف العلم الإجمالي، و (ل) على عدد ما يحتلّه الشي‏ء الذي نتحدّث عن تحديد درجة احتماله من مراكز في مجموعة الأطراف، ف ح‏ل يكون رمزاً لنسبة البسط في المقام، وفي‏

من قيمة العلم؛ لأنّها ناتجة منه. وإذا فرضنا أنّ قيمة العلم تساوي واحداً صحيحاً فقيمة مجموع الاحتمالات تساوي إذن واحداً صحيحاً، ويترتّب على ذلك أنّ قيمة كلّ عضو في مجموعة الاحتمالات تساوي كسراً معيّناً هو ناتج قسمة رقم اليقين على عدد أعضاء مجموعة الأطراف. ولمّا كانت قيمة العلم ثابتة في كلّ علم فلا بدّ أن تكون قيمة مجموع الاحتمالات ثابتة في كلّ علم أيضاً؛ لأنّ القيمتين متطابقتان.
ونعرف من ذلك أنّ قلّة عدد أعضاء مجموعة الأطراف أو زيادتها لا تؤثّر على قيمة مجموعة الاحتمالات؛ لأنّ هذه القيمة ثابتة بثبات قيمة العلم، وإنّما تؤدّي كثرة عدد الأعضاء في مجموعة الأطراف إلى ضآلة ناتج قسمة قيمة مجموعة الاحتمالات، أي قيمة العلم على عدد أعضاء مجموعة الأطراف، وبالتالي إلى ضآلة كلّ احتمال؛ لأنّ البسط إذا كان ثابتاً فإنّ ناتج القسمة يتضاءل تبعاً لازدياد المقام.

إمكان وضع التعريف في صيغتين:

في ضوء هذه التوضيحات التمهيدية يمكن أن نوضّح تعريفنا للاحتمال كما يلي:
إنّ الاحتمال الذي يمكن تحديد قيمته هو دائماً عضو في مجموعة الاحتمالات التي تتمثّل في علم من العلوم الإجماليّة، وقيمته تساوي دائماً ناتج قسمة رقم اليقين على عدد أعضاء مجموعة الأطراف التي تتمثّل في ذلك العلم الإجمالي، فإذا رمزنا إلى كلّ عضو في مجموعة الاحتمالات ب (س) وإلى رقم اليقين ب (ل) وإلى عدد أعضاء مجموعة الأطراف ب (ح) فإنّ قيمة (س) هي‏
ناتج قسمة (ل) على (ح) أي ح‏ل.

2- يزورنا (ب) فقط
3- يزورنا (ج) فقط
4- يزورنا (أ) و (ب) فقط
5- يزورنا (أ) و (ج) فقط
6- يزورنا (ب) و (ج) فقط
7- يزورنا (أ) و (ب) و (ج) معاً
وهذا علم يفرض التنافي بين أطرافه السبعة، فهو من القسم الأوّل، وهذا يعني أ نّنا في كلّ علم إجمالي سوف نواجه علماً من القسم الأوّل.
ونحن هنا نريد بالعلم الإجمالي- متى أطلقناه- العلم الإجمالي من القسم الأوّل الذي يفرض التنافي بين أطرافه، وإذا أردنا أن نعبّر أحياناً عن العلم الإجمالي الذي لا يفرض التنافي بين أطرافه فلن نستخدم للتعبير عنه كلمة العلم الإجمالي. ويفهم ممّا تقدّم أ نّنا نواجه في حالة كلّ علم إجمالي:
أوّلًا: العلم بشي‏ء غير محدّد (كلّي):
ثانياً: مجموعة الأطراف التي يعتبر كلّ عضو فيها ممثّلًا احتمالياً للمعلوم أي يحتمل أ نّه هو ذلك الشي‏ء غير المحدّد.
ثالثاً: مجموعة الاحتمالات التي يطابق عددها عدد مجموعة الأطراف؛ لأنّ كلّ طرف من أطراف العلم الإجمالي يحتمل أن يكون هو الممثّل للمعلوم، فكلّ عضو من مجموعة الأطراف يوازيه عضو في مجموعة الاحتمالات.
رابعاً: التنافي بين أعضاء مجموعة الأطراف.
وقيمة مجموعة الاحتمالات التي تتمثّل في كلّ علم إجمالي تساوي قيمة العلم وليست أصغر من قيمة العلم، وإلّا لكان يعني أنّ من المحتمل أن تكذب كلّ تلك الاحتمالات، وهذا الاحتمال غير موجود؛ لأنّه يناقض العلم، وليست أكبر

وعلى هذا الأساس نعرف أنّ علاقة العلم الإجمالي بكلّ طرف هي علاقة تستبطن بطبيعتها الاحتمال، بينما علاقة العلم- أيّ علم- بالمعلوم تستبطن بطبيعتها نفي الاحتمال، وعدد أطراف العلم الإجمالي يختلف باختلاف دائرة الترديد في المعلوم، فقد يكون ثلاثة وقد يكون أكثر، غير أنّ الحدّ الأدنى له هو اثنان؛ لأنّ حالة وجود طرف واحد فقط تعني أ نّه هو المعلوم فيصبح العلم تفصيلياً لا إجمالياً.
والعلم الإجمالي على قسمين:
أحدهما: العلم الإجمالي الذي تكون أطرافه متنافية أي لا يحتمل أن يجتمع اثنان منها في وقت واحد، كما إذا كنت تعلم أنّ واحداً فقط من أصدقائك الثلاثة سوف يزوروك، فليس من المحتمل على أساس علمك هذا أن يزورك اثنان منهم.
والقسم الآخر العلم الإجمالي الذي تكون أطرافه غير متنافية، أي أنّ من المحتمل اجتماع اثنين منها، كما إذا كنت تعلم أنّ واحداً على الأقلّ من أصدقائك الثلاثة سوف يزورك، فإنّ هذا العلم لا يفرض التنافي بين أطرافه، فيكون من المحتمل أن يزورك اثنان منهم أو الثلاثة جميعاً. وكلّ حالة من حالات القسم الثاني يمكن أن نحصل فيها على علم إجمالي من القسم الأوّل، ففي المثال الذي ذكرناه للقسم الثاني افترضنا العلم بأنّ واحداً على الأقلّ من الأصدقاء سوف يأتي وهذا العلم لا يفرض التنافي بين أطرافه، ولكن بإمكاننا أن نحصل منه على علم إجمالي يفرض التنافي بين أطرافه أي من القسم الأوّل، وذلك بأن نعبّر عن علمنا الإجمالي هذا بالصيغة التالية مشيرين إلى الأصدقاء الثلاثة برموز (أ) (ب) (ج):
نحن نعلم إجمالًا بوقوع إحدى الحالات التالية:
1- يزورنا (أ) فقط

وإذا كان مبدأ الاستقراء يرتكز على احتمال غير تكراري فلا بدّ من تعريف للاحتمال على هذا الأساس.

ج- تعريف جديد للاحتمال‏

ونحن نرجّح استبدال التعريفين السابقين للاحتمال بتعريف ثالث. وتمهيداً لتوضيح هذا التعريف لا بدّ أن نستذكر مفهوماً تقدّم في القسم الأوّل من بحوث هذا الكتاب، وهو العلم الإجمالي، ونريد به العلم بشي‏ء غير محدّد تحديداً كاملًا.
فإنّ العلم- أيّ علم- له معلوم، والمعلوم قد يكون مشخّصاً محدّداً، كما إذا علمت بأنّ الشمس طالعة، أو أنّ فلاناً من أصدقائك يطرق عليك الباب. ويعتبر العلم في هذه الحالة علماً تفصيلياً ومرتبطاً بشي‏ء واحد ارتباط العلم بالمعلوم، وليس في كيان العلم التفصيلي أيّ مجال للشكّ والاحتمال؛ لأنّ ذلك الشي‏ء المحدّد والمعلوم الذي يرتبط به العلم بوصفه معلوماً لا يقبل الاحتمال، وغيره من أشياء لا ارتباط للعلم التفصيلي بها.
وقد يكون المعلوم غير محدّد ولا مشخّص، كما إذا علمت بأنّ أحد أصدقائك الثلاثة بدون تعيين سوف يزورك، ويعتبر العلم في هذه الحالة علماً إجمالياً، وهو يرتبط- ارتباط العلم بالمعلوم- بشي‏ء غامض غير محدّد، لا هو زيارة هذا الصديق بالذات ولا هذا ولا ذاك، بل أحدهم، ويرتبط بكلّ واحدة من الزيارات الثلاث، ولكن ليس ارتباط علم بمعلوم؛ لأنّ أيّ واحدة منها ليست معلومة، بل ارتباط علم بما يحتمل أن يكون هو الممثّل الحقيقي للمعلوم، فإنّ المعلوم لمّا كان شيئاً غامضاً وغير محدّد فمن المحتمل أن يتمثّل في أيّ واحدة من تلك الزيارات، ونطلق على كلّ واحدة من الزيارات اسم طرف العلم الإجمالي،

الحادثة في أعضاء تلك الفئة. إنّ هذه البديهية لا يفرضها التكرار ولا مبدأ الاستقراء وبدونها لا نقدر على تحديد درجة الاحتمال الواقعي، فالقول بأنّ التكرار ومبدأ الاستقراء يكفيان لتحديد درجة احتمال وجود زرادشت غير صحيح.
وثانياً: إنّ هذه المحاولة لتفسير احتمالات من نوع احتمال وجود زرادشت على أساس التكرار لا يمكن أن تنجح في احتمالات من هذا النوع إذا لم تنشأ عن بيّنة معيّنة، بل عن كون المحتمل عضواً في فئة متكاملة. وأقصد بالفئة المتكاملة مجموعة من الحالات المتنافية التي لا بدّ منطقيّاً أن تكون واحدة منها صحيحة، ففي مجموعة متكاملة من هذا القبيل ليس من الضروري أن ينشأ احتمال أيّ عضو في هذه المجموعة من بيّنة، وكلّ نقيضين أي (الوجود والعدم) أو (النفي والإثبات) يتشكّل منهما مجموعة متكاملة؛ لأنّهما متنافيان، ومن الضروري منطقياً أن يكون أحدهما ثابتاً. وإذا أطلقنا على المجموعة المتأ لّفة من النقيضين اسم المجموعة المتكاملة الثنائية أمكننا القول بأنّ كلّ مجموعة متكاملة ثنائية ينشأ فيها احتمال لكلّ عضو فيها نتيجة لنفس الضرورة المنطقيّة التي جعلت منها مجموعة متكاملة ثنائية دون أن نفترض أيّ بيّنة على هذا العضو أو ذاك.
وثالثاً: إنّ مبدأ الاستقراء نفسه يرتكز على الاحتمال، وليس الاحتمال الذي يرتكز عليه الاستقراء تكراراً بل هو من نوع آخر رغم أنّ كلّ استقراء يشتمل على تكرار، فنحن حينما نستقرئ عدداً من أعضاء الفئة التي تنتمي إليها البيّنة الدالّة على وجود زرادشت ونلاحظ أ نّها صادقة بنسبة معيّنة نجد في هذا الاستقراء تكراراً، ولكن مبدأ الاستقراء الذي يبرّر تعميم النتيجة على سائر أعضاء الفئة لا يستند إلى الاحتمال بوصفه مجرّد تعبير عن هذا التكرار بل يستند إلى الاحتمال بمعنى آخر أكتفي الآن بالإشارة إليه تاركاً توضيحه إلى ما يأتي،